Jakie są asymptoty (y) i dziury (a), jeśli występują, f (x) = xsin (1 / x)?

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Cóż, jest oczywiście dziura # x = 0 #, od podziału przez #0# nie jest możliwe.

Możemy wykresować funkcję:

graph {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Nie ma innych asymptot lub dziur.

Odpowiedź:

#f (x) # ma otwór (usuwalna nieciągłość) przy # x = 0 #.

Posiada również poziomą asymptotę # y = 1 #.

Nie ma pionowych ani skośnych asymptot.

Wyjaśnienie:

Dany:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Wykorzystam kilka właściwości #sin (t) #, a mianowicie:

• #abs (sin t) <= 1 ”” # dla wszystkich rzeczywistych wartości # t #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # dla wszystkich wartości # t #.

Najpierw zauważ to #f (x) # to funkcja parzysta:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Znaleźliśmy:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Więc:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Ponieważ tak jest #0#, więc jest #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Od tego czasu #f (x) # jest nawet:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Zauważ, że #f (0) # jest niezdefiniowane, ponieważ obejmuje podział przez #0#, ale istnieją i lewe i prawe ograniczenia istnieją i zgadzają się w # x = 0 #, więc ma tam otwór (usuwalna nieciągłość).

Znajdujemy również:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Podobnie:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Więc #f (x) # ma poziomą asymptotę # y = 1 #

graph {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}