Jakie są ekstrema lokalne f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Odpowiedź:

Parabola ma dokładnie jedno ekstrema, wierzchołek.

To jest #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Od # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # wszędzie funkcja jest wklęsła wszędzie i ten punkt musi być minimalny.

Wyjaśnienie:

Masz dwa korzenie do znalezienia wierzchołka paraboli: jeden, użyj rachunku do znalezienia, gdy pochodna wynosi zero; dwa, unikaj rachunku za wszelką cenę i po prostu wypełnij kwadrat. Użyjemy rachunku do praktyki.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, musimy wziąć pochodną tego.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Dzięki liniowości pochodnej mamy

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Korzystanie z reguły mocy # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # mamy

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Ustawiamy to na zero, aby znaleźć punkty krytyczne, lokalne i globalne minima i maksima oraz czasami punkty przegięcia mają pochodne zerowe.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

więc mamy jeden krytyczny punkt # x = -9 / 2 # lub #-4 1/2#.

Aby znaleźć współrzędną y punktu krytycznego, który podporządkowujemy # x = -9 / 2 # z powrotem do funkcji, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Punkt krytyczny / wierzchołek jest #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Wiemy to, ponieważ #a> 0 #, to jest maksimum.

Aby formalnie znaleźć, czy jest to maksima lub minimum, musimy wykonać drugi test pochodny.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Druga pochodna wynosi 2 przy wszystkich wartościach x. Oznacza to, że wszędzie jest większy niż zero, a funkcja jest wszędzie wklęsła (jest to parabola z #a> 0 # w końcu), więc ekstrema musi być minimum, wierzchołkiem.