Udowodnić, że łóżeczko dziecięce (A / 2) - 3cot ((3A) / 2) = (4sinA) / (1 + 2cosA)?

Odpowiedź:

Proszę odnieść się do Wyjaśnienie.

Wyjaśnienie:

Wiemy to, # tan3theta = (3tantheta-tan ^ 3theta) / (1-3tan ^ 2theta) #.

#:. cot3theta = 1 / (tan3theta) = (1-3tan ^ 2theta) / (3tantheta-tan ^ 3theta) #

#:. łóżeczko ((3A) / 2) = {1-3tan ^ 2 (A / 2)} / {3tan (A / 2) -tan ^ 3 (A / 2)} #.

Wypuszczanie #tan (A / 2) = t, # mamy,

#cot (A / 2) -3cot ((3A) / 2) #, # = 1 / t-3 {(1-3t ^ 2) / (3t-t ^ 3)} #, # 1 / t- {3 (1-3t ^ 2)} / {t (3-t ^ 2)} #, # = {(3-t ^ 2) -3 (1-3t ^ 2)} / {t (3-t ^ 2)} #, # = (8t ^ anuluj (2)) / {anuluj (t) (3-t ^ 2)} #, # = (8t) / {(1 + t ^ 2) +2 (1-t ^ 2)} #

# = {4 * (2t) / (1 + t ^ 2)} / {(1 + t ^ 2) / (1 + t ^ 2) + 2 * (1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2)} #.

Zauważ, że # (2t) / (1 + t ^ 2) = {2tan (A / 2)} / (1 + tan ^ 2 (A / 2)) = sinA i #

# (1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2) = cosA #.

#rArrcot (A / 2) -3cot ((3A) / 2) = (4sinA) / (1 + 2cosA), „zgodnie z życzeniem!” #

Odpowiedź:

Patrz poniżej.

Wyjaśnienie:

# LHS = łóżeczko (x / 2) -3cot ((3x) / 2) #

# = cos (x / 2) / sin (x / 2) -3 * cos ((3x) / 2) / sin ((3x) / 2) #

# = (grzech ((3x) / 2) * cos (x / 2) -3 * cos ((3x) / 2) * sin (x / 2)) / (grzech (x / 2) * grzech ((3x)) / 2) #

# = (2sin ((3x) / 2) * cos (x / 2) -3 * 2cos ((3x) / 2) * sin (x / 2)) / (2sin (x / 2) * sin ((3x)) / 2) #

# = (grzech ((3x) / 2 + x / 2) + grzech ((3x) / 2-x / 2) -3 * {grzech ((3x) / 2 + x / 2) -sin ((3x) / 2-x / 2)}) / (cos ((3x) / 2-x / 2) -cos ((3x) / 2 + x / 2) #

# = (sin ((4x) / 2) + sin ((2x) / 2) -3 * {sin ((4x) / 2) -sin ((2x) / 2)}) / (cos ((2x) / 2) -cos ((4x) / 2) #

# = (sin2x + sinx-3sin2x + 3sinx) / (cosx-cos2x) #

# = (4sinx-2sin2x) / (cosx- (cos ^ 2x-sin ^ 2x)) #

# = (4sinx-4sinx * cosx) / (cosx-cos ^ 2x + sin ^ 2x) #

# = (4sinx (1-cosx)) / (cosx (1-cosx) + (1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (4sinx (1-cosx)) / ((1-cosx) (cosx + 1 + cosx) #

# = (4sinx) / (1 + 2cosx) = RHS #

# LHS = łóżeczko (A / 2) -3cot ((3A) / 2) #

# = cos (A / 2) / sin (A / 2) -cos ((3A) / 2) / sin ((3A) / 2) -2cot ((3A) / 2) #

# = (sin ((3A) / 2) * cos (A / 2) -cos ((3A) / 2) * sin (A / 2)) / (sin (A / 2) * sin ((3A) / 2)) - 2 znak ((3A) / 2) #

# = sin (A) / (sin (A / 2) * sin ((3A) / 2)) -2cot ((3A) / 2) #

# = (2sin (A / 2) cos (A / 2)) / (sin (A / 2) * sin ((3A) / 2)) -2cot ((3A) / 2) #

# = 2cos (A / 2) / sin ((3A) / 2) -2 * cos ((3A) / 2) / sin ((3 A) / 2) #

# = 2 (cos (A / 2) -cos ((3A) / 2)) / sin ((3 A) / 2) #

# = 2 (2sin (A / 2) sin (A)) / (3sin (A / 2) -4sin ^ 3 (A / 2)) #

# = (4sin (A / 2) sin (A)) / (sin (A / 2) (3-4sin ^ 2 (A / 2)) #

# = (4sin (A)) / (3-2 (1-cosA)) #

# = (4sin (A)) / (1 + 2cosA) = RHS #

Jak to udowodnić? łóżeczko (x) (1-cos (2x)) = grzech (2x)

LHS = cotx (1-cos2x) = cosx / sinx * 2sin ^ 2x = 2sinx * cosx = sin2x = RHS

Jak udowodnić, że 1 / (s A + 1) + 1 / (s A-1) = 2 csc Łóżeczko A?

1 / (sek. A + 1) + 1 / (sek. A - 1) Biorąc najniższą wspólną wielokrotność, (sek. A - 1 + sek. A + 1) / (sek. A + 1) * (sek. A - 1) Jak ty może być świadomy, ^ 2 - b ^ 2 = (a + b) * (a - b) Uproszczenie, (2 Sec A) / (Sec ^ 2 A - 1) Teraz Sec ^ 2 A - 1 = tan ^ 2 A = Sin ^ 2A / Cos ^ 2A i Sec A = 1 / Cos A Substytut, 2 / Cos A * Cos ^ 2A / Sin ^ 2A = 2 * Cos A / Sin ^ 2A, które można zapisać jako 2 * Cos A / Grzech A * (1 / Sin A) Teraz Cos A / Sin A = Łóżeczko A i 1 / Sin A = Cosec A Substytut, otrzymujemy 2 łóżeczko A * Cosec A

Jak oceniasz łóżeczko łukowe (łóżeczko (-pi / 4)) bez kalkulatora?

Patrz poniżej Jeśli przepisamy oryginalny problem jako arctan (1 / tan (-pi / 4)) Następnie arctan (1 / tan (-pi / 4)) = arctan (1 / -1) = arctan (-1) = - pi / 4