Korzenie {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 z x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 są takie, że każdy x_i = 1. Jak udowodnić, że jeśli b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. W przeciwnym razie b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

$Korzenie {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 z x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 są takie, że każdy x_i = 1. Jak udowodnić, że jeśli b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. W przeciwnym razie b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?$

Odpowiedź:

Zamiast tego odpowiedź brzmi: # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # i odpowiednie równania są # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 i x ^ 6 + -1 = 0. #.

Wyjaśnienie:

Dobra odpowiedź Cesereo R umożliwiła mi modyfikację

moja wcześniejsza wersja, aby moja odpowiedź była w porządku.

Forma # x = r e ^ (i theta) # może reprezentować zarówno rzeczywiste, jak i złożone

korzenie. W przypadku prawdziwych korzeni x, r = | x |., Zgoda! Kontynuujmy.

W tej formie, z r = 1, równanie dzieli się na dwa równania, #cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 # …(1)

# sin 6 theta + a sin 3 theta = 0 #… (2)

Aby czuć się swobodnie, najpierw wybierz (3) i użyj #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. To daje

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #, z rozwiązaniami

#sin 3theta = 0 do theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

# cos 3theta = -a / 2 do theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, z k jak poprzednio. … (4)

Tutaj, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 do a in -2, 2 # … (5)

(3) zmniejsza (1) do

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

Za pomocą #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) zmniejsza (1) do

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = 0 do b = 1 #… (7)

Teraz z (6), # a = + -2 #

Zatem wartości (a, b) to (+ -2, 1)..

Odpowiednie równania są # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 i (x ^ 6 + 1) = 0 #

Jednak nie jest to w pełni zestawienie z zestawem wartości Cesareo dla (a,). Myślę, że muszę ponownie przejrzeć moją odpowiedź, biorąc pod uwagę (4) i (6) razem, po ustawieniu a = 0, b = - 1. Łatwo to sprawdzić # (a, b) = (0, -1) #jest rozwiązaniem i odpowiadającym mu równaniem jest # x ^ 6-1 = 0 #, z dwoma prawdziwymi korzeniami #+-1#. Tutaj, # 6 theta = (4k-1) pi i cos 6theta = -1 #i tak (6) staje się b = 1, gdy a = 0 również. Masz 100% racji, Cesareo. Dziękuję Ci.

Pełna odpowiedź jest taka, jak wpisana w polu odpowiedzi.

Uwaga: Jest to kolejna propozycja, ale chciałbym przypomnieć i złożyć oświadczenie, w jaki sposób ustaliłem nierówności w obecnym pytaniu, tak wcześnie, jak to możliwe.

Niestety, moje nabazgranie w tej sprawie poszło do kosza na śmieci. Jeśli ta odpowiedź jest właściwa, ale nie to, ja #żal# za to samo. Muszę zmienić pytanie dla tej odpowiedzi. Myślę szybko, ale nie piszę, zsynchronizowany z myśleniem. Błędy łatwo osadzają się w moich myślach.

Spodziewam się, że Neuronaukowcy poprą moje wyjaśnienia, aby wprowadzić błędy do naszej ciężkiej pracy.

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Przypuśćmy, że tak # {a, b} w RR # mamy to #b = pm1 #

bo #b = Pix_i #. Teraz robię #y = x ^ 3 # mamy

# y ^ 2 + aypm1 = 0 # i rozwiązywanie dla # y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # ale

# absy = abs (- (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1))) = 1 #

Rozwiązanie dla #za# mamy # a = {0, -2,2} #

Równanie # x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 # jest równoważny z jedną z możliwości

# x ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

# a_0 = {- 2,0,2} #

# b_0 = {- 1,1} #