Rozwiąż pytanie 39?

Odpowiedź:

b

Wyjaśnienie:

Po pierwsze, powinniśmy wykorzystać fakt, że liczby muszą być następujące po sobie, wywołując wybrane przez nas liczby # n-1, n, n + 1 #, gdzie jeśli przestrzegamy ograniczeń # n # musi być pomiędzy #-9# i #9# włącznie.

Po drugie, zauważ, że jeśli otrzymamy określoną wartość dla konkretnego #ABC#, możemy zamienić te specyficzne wartości, ale wciąż otrzymujemy ten sam wynik. (Uważam, że jest to nazywane permutowalnym, ale zapomnij o odpowiednim terminie)

Więc możemy po prostu pozwolić # a = n-1 #,# b = n #,# c = n + 1 #, teraz podłączamy to:

# (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((n-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (n ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (n ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Teraz naszym problemem jest sprawdzenie, jakie wartości # -9 <= n <= 9 # wyrażenie podaje wartości całkowite, ile różnych wartości otrzymujemy.

Zamierzam kontynuować to rozwiązanie w osobnej odpowiedzi, aby ułatwić czytanie.

Odpowiedź:

Część 2 mojego sol'n. Będzie to używać arytmetyki modularnej, ale jeśli nie jesteś z nią zaznajomiony, zawsze istnieje możliwość objęcia wszystkich niezbędnych wartości # n #

Wyjaśnienie:

Ponieważ wyrażenie musi być liczbą całkowitą, spód musi dokładnie podzielić górę. Licznik powinien więc mieć współczynnik 3. A do tego powinniśmy użyć arytmetyki modułowej.

Zbadaj, dla którego n spełnia: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Teraz sprawa:

1. Próbujemy # n = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, co nie działa

2. Próbujemy # n = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, który działa

3. Próbujemy # n = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, co nie działa

Więc to wydedukujemy # n # musi mieć formę # 3k + 1 #lub jeden więcej niż wielokrotność 3. Rozważając nasz zasięg dla n, bycia # -9 <= n <= 9 #, mamy możliwe wartości:

# n = -8, -5, -2,1,4,7 #.

W tym momencie możesz to wykorzystać # n = 3k + 1 #, ale mając tylko 6 wartości do sprawdzenia, postanowiłem zamiast tego obliczyć każdą z nich i jedyną wartość dla # n # to działa # n = 1 #, produkując wynik #1#.

Ostatecznie, jedynym zestawem kolejnych liczb, który daje wynik liczby całkowitej, jest #0,1,2#, dawanie #1# stąd odpowiedź brzmi: #B#