Rozwiąż równanie różniczkowe: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = 16y? Przedyskutuj, jakie jest to równanie różniczkowe i kiedy może powstać?

Odpowiedź:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Wyjaśnienie:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = 16y #

najlepiej napisane jako

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 trójkąt qquad #

co pokazuje, że jest to liniowe równanie różniczkowe homogeniczne drugiego rzędu

ma charakterystyczne równanie

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

które można rozwiązać w następujący sposób

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

jest to powtarzające się źródło, więc ogólne rozwiązanie jest w formie

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

nie jest to zjawisko oscylacyjne i modeluje pewnego rodzaju wykładnicze zachowanie, które naprawdę zależy od wartości A i B. Można się domyślać, że może to być próba modelowania interakcji populacji lub drapieżnika / zdobyczy, ale nie mogę powiedzieć nic konkretnego.

pokazuje niestabilność i to wszystko, co naprawdę mogę o tym powiedzieć

Odpowiedź:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Wyjaśnienie:

Równanie różniczkowe

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

jest liniowym jednorodnym równaniem współczynnika stałego.

Dla tych równań rozwiązanie ogólne ma strukturę

#y = e ^ {lambda x} #

Zastępowanie mamy

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Tutaj # e ^ {lambda x} ne 0 # więc rozwiązania muszą być posłuszne

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Rozwiązujemy otrzymujemy

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Kiedy korzenie się powtarzają, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # jest także rozwiązaniem. W przypadku # n # powtórzone korzenie, będziemy mieć rozwiązania:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # dla # i = 1,2, cdots, n #

Aby utrzymać liczbę warunków początkowych, uwzględniamy je jako niezależne rozwiązania.

W tym przypadku mamy

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

Co skutkuje w

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Równania te pojawiają się podczas modelowania liniowych systemów parametrów skupionych, takich jak te występujące w teorii obwodów liniowych lub mechanice liniowej. Równania te są zwykle obsługiwane przy użyciu operacyjnych metod algebraicznych, takich jak metody transformacji Laplace'a