Jak znaleźć dokładne wartości tan 112,5 stopnia za pomocą formuły półksiężyca?

Odpowiedź:

#tan (112.5) = - (1 + sqrt (2)) #

Wyjaśnienie:

#112.5=112 1/2=225/2#

Uwaga: Ten kąt leży w drugim kwadrancie.

# => tan (112,5) = tan (225/5) = sin (225/2) / cos (225/2) = - sqrt (sin (225/2) / cos (225/2) ^ 2) = -sqrt (sin ^ 2 (225/2) / cos ^ 2 (225/2)) #

Mówimy, że jest to negatywne, ponieważ wartość #dębnik# jest zawsze negatywny w drugim kwadrancie!

Następnie używamy poniższego wzoru:

# sin ^ 2 (x / 2) = 1/2 (1-cosx) #

# cos ^ 2 (x / 2) = 1/2 (1 + cosx) #

# => tan (112,5) = -sqrt (sin ^ 2 (225/2) / cos ^ 2 (225/2)) = -sqrt ((1/2 (1-cos (225))) / (1 / 2 (1 + cos (225)))) = -sqrt ((1-cos (225)) / (1 + cos (225))) #

Zauważ, że: # 225 = 180 + 45 => cos (225) = - cos (45) #

# => tan (112,5) = - sqrt ((1 - (- cos45)) / (1 + (- cos45))) - - sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2)) / 2)) = sqrt ((2 + sqrt (2)) / (2-sqrt (2))) #

Teraz chcesz zracjonalizować;

# => - sqrt (((2 + sqrt (2)) xx (2 + sqrt (2))) / ((2-sqrt (2)) xx (2 + sqrt (2)))) = -sqrt (((2 + sqrt (2)) ^ 2) / (4-2)) = - (2 + sqrt (2)) / sqrt (2) = - (sqrt (2) xx (2 + sqrt (2))) / (sqrt2xxsqrt2) = - (2sqrt2 + 2) / 2 = kolor (niebieski) (- (1 + sqrt (2))) #

Odpowiedź:

Znajdź tan 112,5

Odp: (-1 - sqrt2)

Wyjaśnienie:

Zadzwoń tan 112,5 = tan t

tan 2t = tan 225 = tan (45 + 180) = tan 45 = 1

Użyj tożsamości wyzwalającej: #tan 2t = (2t) / (1 - t ^ 2) # -->

# 1 = (2t) / (1 - t ^ 2) # --> # t ^ 2 + 2t - 1 = 0 #

#D = d ^ 2 = b ^ 2 - 4ac = 4 + 4 = 8 -> d = + - 2sqrt2 #

#t = tan 112,5 = -2/2 + - (2sqrt2) / 2 = - 1 + - sqrt2 #

Ponieważ t = 112,5 stopni jest w kwadrancie II, jego tan jest ujemny, wtedy akceptowana jest tylko odpowiedź negatywna: (-1 - sqrt2)