Jak zintegrować int x ^ lnx?

Odpowiedź:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Wyjaśnienie:

Zaczynamy od podstawienia u za pomocą # u = ln (x) #. Następnie dzielimy przez pochodną # u # integrować w odniesieniu do # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Teraz musimy rozwiązać # x # pod względem # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int ^ u * (e ^ u) ^ u du = int ^ (u ^ 2 + u) du #

Można zgadywać, że nie ma elementarnej anty-pochodnej i miałbyś rację. Możemy jednak użyć formularza dla funkcji błędu urojonego, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Aby uzyskać naszą całkę w tej formie, możemy mieć tylko jedną zmienną kwadratową w wykładniku #mi#, więc musimy wypełnić kwadrat:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int ^ ((u + 1/2) ^ 2)

Teraz możemy wprowadzić substytucję u # t = u + 1/2 #. Pochodna jest po prostu #1#, więc nie musimy robić niczego specjalnego w celu integracji w odniesieniu do # t #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Teraz możemy cofnąć wszystkie zmiany, aby uzyskać:

#e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #