Jak zintegrować int sec ^ -1x przez integrację według metody części?

Odpowiedź:

Odpowiedź to # = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Wyjaśnienie:

Potrzebujemy

# (sec ^ -1x) '= ("łuk" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integracja według części jest

# intu'v = uv-intuv '#

Mamy tutaj

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

W związku z tym, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Wykonaj drugą integralną przez podstawienie

Pozwolić # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Pozwolić # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

Więc, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Wreszcie, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Odpowiedź:

#int s ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Wyjaśnienie:

Alternatywnie możemy użyć mało znanej formuły do obliczania całek funkcji odwrotnych. Formuła mówi:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

gdzie # f ^ -1 (x) # jest odwrotnością #f (x) # i #F (x) # jest anty-pochodną #f (x) #.

W naszym przypadku otrzymujemy:

#int s ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Teraz wszystko, co musimy wypracować, to anty-pochodna #FA#, która jest znaną integralną sieczną:

#int s (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Podłączenie tego z powrotem do formuły daje naszą ostateczną odpowiedź:

#int s ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Musimy uważać na uproszczenie #tan (sec ^ -1 (x)) # do #sqrt (x ^ 2-1) # ponieważ tożsamość jest ważna tylko wtedy, gdy # x # jest pozytywny. Mamy jednak szczęście, ponieważ możemy to naprawić, umieszczając bezwzględną wartość w drugim logarytmie. Usuwa to również potrzebę pierwszej wartości bezwzględnej, ponieważ wszystko wewnątrz logarytmu zawsze będzie dodatnie:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #