Niech M będzie macierzą, a wektory u i v: M = [(a, b), (c, d)], v = [(x), (y)], u = [(w), (z)] . (a) Zaproponuj definicję u + v. (b) Pokaż, że twoja definicja jest zgodna z Mv + Mu = M (u + v)?

Odpowiedź:

Definicja dodawania wektorów, mnożenie macierzy przez wektor i dowód prawa dystrybucyjnego znajdują się poniżej.

Wyjaśnienie:

Dla dwóch wektorów #v = (x), (y) # i #u = (w), (z) #

definiujemy operację dodawania jako # u + v = (x + w), (y + z) #

Mnożenie macierzy #M = (a, b), (c, d) # przez wektor #v = (x), (y) # jest zdefiniowany jako # M * v = (a, b), (c, d) * (x), (y) = (ax + by), (cx + dy) #

Analogicznie, mnożenie macierzy #M = (a, b), (c, d) # przez wektor #u = (w), (z) # jest zdefiniowany jako # M * u = (a, b), (c, d) * (w), (z) = (aw + bz), (cw + dz) #

Sprawdźmy prawo dystrybucyjne takiej definicji:

# M * v + M * u = (ax + by), (cx + dy) + (aw + bz), (cw + dz) = #

# = (ax + by + aw + bz), (cx + dy + cw + dz) = #

# = (a (x + w) + b (y + z)), (c (x + w) + d (y + z))) = #

# = (a, b), (c, d) * (x + w), (y + z) = M * (v + u) #

Koniec dowodu.