Dla jakich wartości x jest f (x) = x-x ^ 2e ^ -x wklęsłe lub wypukłe?

Odpowiedź:

Znajdź drugą pochodną i sprawdź jej znak. Jest wypukły, jeśli jest pozytywny i wklęsły, jeśli jest negatywny.

Wklęsły dla:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Wypukły dla:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Wyjaśnienie:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Pierwsza pochodna:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Brać # e ^ -x # jako wspólny czynnik upraszczający następną pochodną:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Druga pochodna:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Teraz musimy przestudiować znak. Możemy zmienić znak, aby łatwo rozwiązać kwadrat:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Aby produkt kwadratowy był:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

W związku z tym:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Wartość # x # pomiędzy tymi dwoma rozwiązaniami daje ujemny znak kwadratowy, podczas gdy każda inna wartość # x # czyni to pozytywnym.
• Dowolna wartość # x # sprawia # e ^ -x # pozytywny.
• Znak ujemny na początku funkcji odwraca wszystkie znaki.

W związku z tym, #f '' (x) # jest:

Pozytywne, dlatego wklęsłe dla:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negatywny, dlatego wypukły dla:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #