Jakie są ekstrema f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 w przedziale [-1,3]?

Odpowiedź:

Mamy minima na # x = 0 # i punkt przegięcia w # x = 3 #

Wyjaśnienie:

Maksima to najwyższy punkt, do którego funkcja wzrasta, a następnie ponownie spada. Jako takie nachylenie stycznej lub wartości pochodnej w tym punkcie będzie równe zero.

Ponadto, gdy styczne na lewo od maksimów będą nachylone w górę, a następnie spłaszczone, a następnie pochylone w dół, nachylenie stycznej będzie stale zmniejszać się, tj. Wartość drugiej pochodnej będzie ujemna.

Minima z drugiej strony to niski punkt, do którego funkcja spada, a następnie ponownie wzrasta. Jako taka, styczna lub wartość pochodnej również w minimach będzie wynosić zero.

Ale ponieważ styczne na lewo od minimów będą nachylone w dół, a następnie spłaszczone, a następnie pochylone w górę, nachylenie stycznej będzie stale wzrastać lub wartość drugiej pochodnej będzie dodatnia.

Jeśli druga pochodna wynosi zero, mamy punkt

Jednak te maksima i minima mogą być albo uniwersalne, tj. Maksima lub minima dla całego zakresu, albo mogą być zlokalizowane, tj. Maksima lub minima w ograniczonym zakresie.

Zobaczmy to w odniesieniu do funkcji opisanej w pytaniu i do tego najpierw rozróżnijmy #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Jego pierwsza pochodna jest podana przez #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

To będzie zero dla # x ^ 2-9 = 0 # lub #x = + - 3 # lub #0#. Tylko z nich #{0,3}# są w zasięgu #-1,3}#.

Stąd maksima lub minima występują w punktach # x = 0 # i # x = 3 #.

Aby sprawdzić, czy są to maksima lub minima, spójrzmy na drugą różnicę, która jest #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # i stąd

w # x = 0 #, #f '' (x) = 486 # i jest pozytywny

w # x = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # i jest punktem przegięcia.

Stąd mamy lokalne minima na poziomie # x = 0 # i punkt przegięcia w # x = 3 #

. wykres {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Odpowiedź:

Absolutnym minimum jest #(-9)^3+10# (co występuje w #0#), absolutne maksimum interwału wynosi #10#, (co występuje w #3#)

Wyjaśnienie:

Pytanie nie określa, czy mamy znaleźć relatywne czy bezwzględne ekstrema, więc znajdziemy oba.

Ekstrema względna może wystąpić tylko w liczbach krytycznych. Liczby krytyczne są wartościami # x # które są w domenie #fa# i na którym też #f '(x) = 0 # lub #f '(x) nie istnieje. (Twierdzenie Fermata)

Ekstrema bezwzględne w przedziale zamkniętym mogą wystąpić w liczbach krytycznych w przedziale lub w punktach przedziału.

Ponieważ funkcja zadana tutaj jest ciągła #-1,3#, twierdzenie Extreme Value zapewnia to #fa# musi mieć zarówno absolutne minimum, jak i absolutne maksimum w przedziale.

Liczby krytyczne i ekstrema względne.

Dla #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, znaleźliśmy #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Wyraźnie, #fa'# nigdy nie zawodzi, więc nie ma takich liczb krytycznych.

Rozwiązywanie # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # daje rozwiązania #-3#, #0#, i #3#.

#-3# nie jest w domenie tego problemu, #-1,3# więc musimy tylko sprawdzić #f (0) # i #f (3) #

Dla #x <0 #, mamy #f '(x) <0 # i

dla #x> 0 #, mamy #f '(x)> 0 #.

W pierwszym teście pochodnym #f (0) # jest względnym minimum. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Inną krytyczną liczbą w przedziale jest #3#. Jeśli zignorujemy ograniczenie domeny, znajdziemy to #f '(x)> 0 # dla wszystkich # x # Blisko #3#. Tak więc funkcja zwiększa się w małych otwartych przedziałach zawierających #3#. Dlatego jeśli się zatrzymamy w #3# uderzyliśmy w najwyższy punkt w domenie.

Jest nie powszechna zgoda, czy to powiedzieć #f (3) = 10 # to względne maksimum dla tej funkcji #-1,3#.

Niektóre wymagają wartości po obu stronach aby być mniejszym, inni wymagają, aby wartości w domenie po obu stronach były mniejsze.

Absolutna ekstrema

Sytuacja ekstremów bezwzględnych w przedziale zamkniętym # a, b # jest znacznie prostszy.

Znajdź liczby krytyczne w przedziale zamkniętym. Zadzwoń do # c_1, c_2 # i tak dalej.

Oblicz wartości #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # i tak dalej. Największą wartością jest absolutne maixmum w przedziale, a najmniejsza wartość to absolutne minimum w przedziale.

W tym pytaniu obliczamy #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # i #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimum to #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # i

maksimum to #f (-3) = 10 #.