Czym jest Infinity? + Przykład

Odpowiedź:

Nie można na to odpowiedzieć bez kontekstu. Oto niektóre zastosowania matematyki.

Wyjaśnienie:

Zbiór ma nieskończoną liczność, jeśli można go zmapować jeden na jeden w odpowiednim podzbiorze samego siebie. To nie jest użycie nieskończoności w rachunku różniczkowym.

W rachunku różniczkowym używamy „nieskończoności” na 3 sposoby.

Notacja interwału:

Symbole # oo # (odpowiednio # -oo #) są używane do wskazania, że przedział nie ma prawego (odpowiednio lewego) punktu końcowego.

Przerwa # (2, oo) # jest taki sam jak zestaw # x #

Nieskończone ograniczenia

Jeśli limit nie istnieje, ponieważ jak # x # awanse #za#, wartości #f (x) # zwiększaj bez ograniczeń, a potem piszemy #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Zauważ, że: wyrażenie „bez ograniczeń” jest znaczące. Nubers:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # rosną, ale są ograniczone powyżej. (Nigdy nie docierają ani nie mijają #1#.)

Limity w Infinity

Wyrażenie „granica w nieskończoności” jest używane do wskazania, że zapytaliśmy, co się dzieje #f (x) # tak jak # x # wzrasta bez ograniczeń.

Przykłady obejmują

Limit jak # x # wzrasta bez ograniczeń # x ^ 2 # nie istnieje, ponieważ # x # wzrasta bez ograniczeń # x ^ 2 # również wzrasta bez ograniczeń.

To jest napisane #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # i często to czytamy

„Limit jak # x # idzie do nieskończoności # x ^ 2 # jest nieskończonością ”

Limit #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # wskazuje, że

tak jak # x # wzrasta bez ograniczeń # 1 / x # awanse #0#.

Odpowiedź:

To zależy od kontekstu …

Wyjaśnienie:

#bb + - # Nieskończoność i ograniczenia

Rozważmy zestaw liczb rzeczywistych # RR #, często przedstawiane jako linia z liczbami ujemnymi po lewej stronie i liczbami dodatnimi po prawej stronie. Możemy dodać dwa punkty zwane # + oo # i # -oo # które nie działają jak liczby, ale mają następującą właściwość:

#AA x w RR, -oo <x <+ oo #

Wtedy możemy pisać #lim_ (x -> + oo) # oznaczać limit jako # x # staje się coraz bardziej pozytywny bez górnej granicy i #lim_ (x -> - oo) # oznaczać limit jako # x # staje się coraz bardziej negatywny bez dolnej granicy.

Możemy również napisać wyrażenia, takie jak:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… co oznacza, że wartość # 1 / x # zwiększa się lub zmniejsza bez ograniczeń jak # x # awanse #0# z „prawego” lub „lewego”.

Więc w tych kontekstach # + - oo # są naprawdę skrótowe, aby wyrazić warunki lub wyniki ograniczających procesów.

Nieskończoność jako zakończenie # RR # lub # CC #

Linia rzutowania # RR_oo # i kula Riemanna # CC_oo # są tworzone przez dodanie pojedynczego punktu o nazwie # oo # do # RR # lub # CC # - „punkt w nieskończoności”.

Następnie możemy rozszerzyć definicję funkcji, takich jak #f (z) = (az + b) / (cz + d) # być ciągłe i dobrze zdefiniowane w całości # RR_oo # lub # CC_oo #. Te transformacje Möbiusa działają szczególnie dobrze #Gruchać#, gdzie mapują kręgi do kręgów.

Nieskończoność w teorii zbiorów

Rozmiar (liczność) zbioru liczb całkowitych jest nieskończony, znany jako policzalna nieskończoność. Georg Cantor odkrył, że liczba liczb rzeczywistych jest ściśle większa niż ta policzalna nieskończoność. W teorii mnogości istnieje cała masa nieskończoności o rosnących rozmiarach.

Nieskończoność jako liczba

Czy rzeczywiście możemy traktować nieskończoność jako liczby? Tak, ale rzeczy nie działają tak, jak oczekujesz przez cały czas. Na przykład możemy z radością powiedzieć # 1 / oo = 0 # i # 1/0 = oo #, ale jaka jest wartość # 0 * oo?

Istnieją systemy liczbowe, które obejmują nieskończoność i nieskończenie małe (nieskończenie małe liczby). Zapewniają one intuicyjny obraz wyników procesów ograniczających, takich jak różnicowanie, i mogą być traktowane rygorystycznie, ale należy uniknąć wielu pułapek.