Jeśli próbujesz określić zbieżność
Jeśli
Jeśli
Ten test jest bardzo intuicyjny, ponieważ wszystko, co mówi, jest taki, że jeśli większa seria się pogłębia, to mniejsze szeregi również się zbiegają, a jeśli mniejsze szeregi rozbieżą się, wtedy większa seria rozbiega się.
Termin r _ („th”) serii geometrycznej to (2r + 1) cdot 2 ^ r. Jaka jest suma pierwszego terminu n serii?
(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = suma {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + sum_ {r = 0} ^ n 2 ^ r S = sum_ {r = 1} ^ nr * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1- 2) + ... + a_ { 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1- 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 Sprawdźmy S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots S (0) = 1 = -
U_1, u_2, u_3, ... są w progresji geometrycznej (GP). Wspólnym stosunkiem terminów w serii jest K. Teraz określ sumę serii u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) w postaci K i u_1?
Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) Ogólny termin postępu geometrycznego można zapisać: a_k = ar ^ (k-1) gdzie a jest początkowym wyrażeniem i r wspólnym współczynnikiem. Suma do n jest określona wzorem: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) kolor (biały) () Z informacjami podanymi w pytaniu ogólna formuła dla u_k może być napisane: u_k = u_1 K ^ (k-1) Zauważ, że: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Więc: sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) kolor (biały) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k +1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) *
Jak znaleźć pierwsze trzy terminy serii Maclaurina dla f (t) = (e ^ t - 1) / t przy użyciu serii Maclaurin e ^ x?
Wiemy, że seria Maclaurina e ^ x jest sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) Możemy również uzyskać tę serię za pomocą rozszerzenia Maclaurina f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) oraz fakt, że wszystkie pochodne e ^ x są nadal e ^ x i e ^ 0 = 1. Teraz wystarczy zastąpić powyższą serię na (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + suma (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Jeśli chcesz, aby indeks zaczynał się od i = 0, po prostu zastąp n = i + 1: = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !) Teraz po prostu oceń pierwsze