Jaka jest metoda ekspansji kofaktora w celu znalezienia wyznacznika?

Witaj !

Pozwolić #A = (a_ {i, j}) # być matrycą wielkości #n razy n #.

Wybierz kolumnę: numer kolumny # j_0 # (Napiszę: „The # j_0 #-ta kolumna ”).

The formuła rozszerzenia kofaktora (lub wzór Laplace'a) dla # j_0 #-ta kolumna to

# det (A) = suma {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

gdzie # Delta_ {i, j_0} # jest wyznacznikiem macierzy #ZA# bez niego #ja#-ty wiersz i jego # j_0 #-ta kolumna; więc, # Delta_ {i, j_0} # jest wyznacznikiem wielkości # (n-1) razy (n-1) #.

Zwróć uwagę, że liczba # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # jest nazywany kofaktor z miejsca # (i, j_0) #.

Może wygląda to na skomplikowane, ale łatwo jest to zrozumieć na przykładzie. Chcemy obliczyć #RE#:

Jeśli rozwiniemy się w drugiej kolumnie, otrzymasz

więc:

Wreszcie, # D = 0 #.

Aby być skutecznym, musisz wybrać linię z wieloma zerami: suma będzie bardzo prosta do obliczenia!

Uwaga. Bo # det (A) = wyk (A ^ tekst {T}) #, możesz także wybrać linię, a nie kolumnę. Formuła staje się

# det (A) = suma {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

gdzie # i_0 # to numer wybranej linii.