Czym jest przestrzeń Hilberta? + Przykład

Przestrzeń Hilberta to zestaw elementów o określonych właściwościach, a mianowicie:

jest to przestrzeń wektorowa (więc na jej elementach są operacje typowe dla wektorów, takie jak mnożenie przez liczbę rzeczywistą i dodatek, które spełniają prawa przemienne i asocjacyjne);

istnieje produkt skalarny (czasami nazywany wewnętrznym lub kropkowym) między dowolnymi dwoma elementami, który daje liczbę rzeczywistą.

Na przykład nasza trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa jest przykładem przestrzeni Hilberta z iloczynem skalarnym # x = (x_1, x_2, x_3) # i # y = (y_1, y_2, y_3) # równy # (x, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Bardziej interesującym przykładem jest przestrzeń wszystkich ciągłych funkcji w segmencie # a, b # z produktem skalarnym zdefiniowanym jako

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

W fizyce kwantowej przestrzeń Hilberta odgrywa bardzo ważną rolę jako funkcja opisująca stan systemu # Psi # jest elementem przestrzeni Hilberta.

Mogę polecić

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

jako wprowadzenie do wykorzystania przestrzeni Hilberta w fizyce kwantowej.