X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 ma jeden root x = sqrt (2) + sqrt (3). Jakie są pozostałe trzy korzenie i dlaczego?

Odpowiedź:

Pozostałe trzy korzenie są #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # i #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Jeśli chodzi o powód, pozwól, że opowiem ci historię …

Wyjaśnienie:

Pan Rational mieszka w mieście Algebra.

Zna wszystkie numery formularza # m / n # gdzie # m # i # n # są liczbami całkowitymi i #n! = 0 #.

Jest całkiem szczęśliwy, rozwiązując takie wielomiany # 3x + 8 = 0 # i # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, ale jest wielu, którzy go układają.

Nawet pozornie prosty wielomian # x ^ 2-2 = 0 # wydaje się nie do zniesienia.

Jego bogaty sąsiad, pan Real, lituje się nad nim. „To, czego potrzebujesz, to pierwiastek kwadratowy z #2#. Proszę bardzo. ”Tymi słowami pan Real przekazuje tajemniczy, lśniący niebieski numer # R_2 # do pana Rational. Mówi się tylko o tym numerze # R_2 ^ 2 = 2 #.

Pan Rational wraca do swoich studiów i ma zabawę z tym tajemniczym # R_2 #.

Po chwili odkrywa, że może dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby w formularzu # a + b R_2 # gdzie #za# i #b# są racjonalne i kończą się liczbami w tej samej formie. On też to zauważa # x ^ 2-2 = 0 # ma inne rozwiązanie, mianowicie # -R_2 #.

Teraz jest w stanie rozwiązać nie tylko # x ^ 2-2 = 0 #, ale # x ^ 2 + 2x-1 = 0 # i wiele innych.

Wiele innych wielomianów wciąż unika rozwiązania. Na przykład, # x ^ 2-3 = 0 #, ale pan Real z radością daje mu błyszczącą zieloną liczbę # R_3 # to rozwiązuje ten problem.

Pan Rational szybko odkrywa, że potrafi wyrazić wszystkie liczby, które może zrobić # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, gdzie #za#, #b#, #do# i #re# są racjonalne.

Pewnego dnia pan Rational rozwiązuje problem # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. On to znajduje # x = R_2 + R_3 # to rozwiązanie.

Zanim szuka więcej rozwiązań, wpada na swojego sąsiada, pana Real. Dziękuję panu Realowi za prezent # R_2 # i # R_3 #, ale ma pytanie na ich temat. „Zapomniałem zapytać:”, mówi: „Czy są pozytywne czy negatywne?”. „Nie sądziłem, że ci zależy.” - powiedział pan Real. „Tak długo, jak rozwiązujesz wielomiany ze współczynnikami wymiernymi, tak naprawdę nie ma to znaczenia. Reguły, które znalazłeś do dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia twoich nowych liczb, działają równie dobrze z jednym i drugim. nazywa # R_2 # to właśnie nazywa większość ludzi # -sqrt (2) # i ten, którego nazwałeś # R_3 # to właśnie nazywa większość ludzi #sqrt (3) #'.

Tak więc dla nowych numerów postaci pana Rational # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # nie ma znaczenia, czy # R_2 # i / lub # R_3 # są dodatnie lub ujemne z punktu widzenia rozwiązywania wielomianów o współczynnikach wymiernych.