Odpowiedź:
Linia styczna jest równoległa do linii # x # oś kiedy nachylenie (stąd # dy / dx #) wynosi zero i jest równoległy do # y # oś, kiedy nachylenie (ponownie, # dy / dx #) idzie do # oo # lub # -oo #
Wyjaśnienie:
Zaczniemy od znalezienia # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Teraz, # dy / dx = 0 # kiedy nuimerator jest #0#, pod warunkiem, że nie stanowi to również mianownika #0#.
# 2x + y = 0 # gdy #y = -2x #
Mamy teraz dwa równania:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Rozwiąż (zastępując)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Za pomocą #y = -2x #, dostajemy
Styczna do krzywej jest pozioma w dwóch punktach:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # i # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Zauważ, że te pary również nie tworzą mianownika # dy / dx # równy #0#)
Aby znaleźć punkty, w których styczna jest pionowa, wyznacz mianownik # dy / dx # równe tpo #0# (bez również licznika #0#).
Moglibyśmy przejść przez rozwiązanie, ale symetria równania, które otrzymamy:
# x = -2y #, więc
#y = + - sqrt21 / 3 #
a punkty na krzywej, przy których styczna jest pionowa to:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # i # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Tak poza tym. Ponieważ mamy technologię, oto wykres tej obróconej elipsy: (Zauważ # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1,528 # które możesz zobaczyć na wykresie.)
wykres {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11,3, 11,2, -5,665, 5,585}
Odpowiedź:
Dostaję tylko matematykę gimnazjalną
Styczne równoległe do osi x w:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) i (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Styczne równoległe do osi y przy:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) i (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Wyjaśnienie:
Spojrzałem na odpowiedź Jima, która wygląda jak ładne, standardowe leczenie rachunku różniczkowego. Ale nie mogłem się powstrzymać od smutku z powodu wszystkich gimnazjalistów w Sokratejskiej Krainie, którzy chcą znaleźć styczne algebraicznych krzywych, ale są jeszcze daleko od rachunku różniczkowego.
Na szczęście mogą zrobić te problemy używając tylko Algebry I.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Może to być trochę skomplikowane dla pierwszego przykładu, ale chodźmy z tym. Piszemy naszą krzywą jako #f (x, y) = 0 # gdzie
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Weźmy # (r, s) # jako punkt #fa#. Chcemy zbadać #fa# Blisko # (r, s) # więc piszemy
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Rozwijamy się, ale nie rozszerzamy terminów różnicy # x-r # i # y-s #. Chcemy zachować je nienaruszone, abyśmy mogli później eksperymentować z eliminacją.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2 s ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Powiedzieliśmy # (r, s) # jest włączony #fa# więc #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Posortowaliśmy terminy według stopnia i możemy eksperymentować z przybliżeniami #fa# Blisko # (r, s) # upuszczając wyższe stopnie. Chodzi o to, kiedy # (x, y) # Jest w pobliżu # (r, s) # następnie # x-r # i # y-s # są małe, a ich kwadraty i produkt są jeszcze mniejsze.
Po prostu wygenerujmy pewne przybliżenia #fa#. Od # (r, s) # jest na krzywej, stała aproksymacja, zrzucająca wszystkie różnice, jest
# f_0 (x, y) = 0 #
To nie jest szczególnie ekscytujące, ale poprawnie mówi nam, że jesteśmy blisko # (r, s) # da wartość zbliżoną do zera dla #fa#.
Bądźmy bardziej interesujący i zachowujmy liniowe terminy.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Kiedy ustawimy to na zero, otrzymamy najlepsze przybliżenie liniowe #fa# Blisko # (r, s), # który jest linia styczna do #fa# w # (r, s). # Teraz gdzieś idziemy.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Możemy również rozważyć inne przybliżenia:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Są to styczne wyższego rzędu, do których studenci matematyki rzadko się uczą. Wykroczyliśmy już poza rachunek uniwersytecki.
Jest więcej przybliżeń, ale ostrzegam, że to się wydłuża. Teraz, gdy nauczyliśmy się wykonywać rachunek różniczkowy przy użyciu tylko algebry I, zróbmy problem.
Chcemy znaleźć punkty, w których linia styczna jest równoległa do linii # x # oś i # y # oś.
Znaleźliśmy naszą styczną linię na # (r, s) # jest
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Równolegle do # x # oś oznacza równanie #y = tekst {stała} #. Więc współczynnik na # x # musi wynosić zero:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # jest na krzywej #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Od # s = -2r # punkty są
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) i (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Podobnie jest z osią y # 2s + r = 0 # które powinny po prostu zamienić xiy ze względu na symetrię problemu. Pozostałe punkty to
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) i (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Czek.
Jak sprawdzić? Zróbmy spisek alfa.
wykres x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Wygląda dobrze. Rachunek różniczkowy na krzywych algebraicznych. Całkiem niezłe dla gimnazjum.
