Jak rozwiązać nierówność 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Odpowiedź:

#x <- 5/2 kolor (biały) (xx) # lub #color (biały) (xx) -1 <x <2 #

Wyjaśnienie:

Po pierwsze, zauważ, że twoja nierówność jest zdefiniowana tylko wtedy, gdy twoje mianowniki nie są równe zero:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Teraz następnym krokiem byłoby „pozbycie się” ułamków. Można to zrobić, mnożąc obie strony nierówności za pomocą # x + 1 # i # x-2 #.

Jednak musisz być ostrożny, ponieważ jeśli pomnożysz nierówność z liczbą ujemną, musisz odwrócić znak nierówności.

=========================================

Rozważmy różne przypadki:

przypadek 1: #color (biały) (xxx) x> 2 #:

Obie #x + 1> 0 # i #x - 2> 0 # trzymać. W ten sposób otrzymujesz:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… oblicz # -3x # i #+2# po obu stronach…

# -2x> 5 #

… podzielić przez #-2# po obu stronach. Tak jak #-2# jest liczbą ujemną, musisz odwrócić znak nierówności …

#x <- 5/2 #

Nie ma jednak # x # to spełnia oba warunki #x> 2 # i #x <- 5/2 #. W tym przypadku nie ma rozwiązania.

=========================================

sprawa 2: #color (biały) (xxx) -1 <x <2 #:

Tutaj, #x + 1> 0 # ale #x - 2 <0 #. Dlatego musisz raz przerzucić znak nierówności, a otrzymasz:

#color (biały) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (biały) (x) -2x <5 #

… podzielić przez #-2# i ponownie odwróć znak nierówności …

#color (biały) (xxx) x> -5 / 2 #

Nierówność #x> -5 / 2 # jest prawdą dla wszystkich # x # w przerwie # -1 <x <2 #. W tym przypadku mamy rozwiązanie # -1 <x <2 #.

=========================================

sprawa 3: #color (biały) (xxx) x <-1 #:

Tutaj oba mianowniki są ujemne. Tak więc, jeśli pomnożysz nierówność z obiema, musisz dwukrotnie odwrócić znak nierówności, a otrzymasz:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (biały) (i) -2x> 5 #

#color (biały) (xxi) x <- 5/2 #

Jako warunek #x <-5 / 2 # jest bardziej restrykcyjny niż warunek #x <-1 #, rozwiązaniem dla tego przypadku jest #x <- 5/2 #.

=========================================

W sumie rozwiązaniem jest

#x <- 5/2 kolor (biały) (xx) # lub #color (biały) (xx) -1 <x <2 #

lub, jeśli wolisz inną notację,

#x in (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Odpowiedź:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Wyjaśnienie:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

niech przechodzą na lewą stronę nierówności, odejmując # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Teraz musimy umieścić wszystkie nierówności w tym samym mianowniku. Część z (x + 1) pomnożymy przez # (x-2) / (x-2) # (co oznacza 1!) i odwrotnie:

# (x-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

Wcześniej zrobiliśmy sztuczkę, aby wszystkie nierówności miały ten sam mianownik:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (x + 1) (x-2) # odpowiada paraboli, która daje wartości dodatnie w ineterval # -oo, -1 uu 2, + oo # i wartości ujemne w przedziale #-1, 2#. Pamiętaj, że x nie może wynosić -1 ani 2 ze względu na przyznanie mianownika zero.

W pierwszym przypadku (mianownik dodatni) możemy uprościć nierówność na:

# -2x-5> 0 # i #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

co daje:

#x <-5 / 2 # i #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

Przechwytywanie interwałów powyżej daje #x <-5 / 2 #.

W drugim przypadku mianownik jest ujemny, więc dla wyniku podającego liczbę dodatnią licznik musi być ujemny:

# -2x-5 <0 # i # x in -1, 2 #

co daje

#x> -5 / 2 #. i # x in -1, 2 #

Przechwytuje interwały # x in -1, 2 #

Łącząc rozwiązania dwóch otrzymanych przypadków:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #