Jaki jest obwód zwykłego ośmiokąta o promieniu długości 20?

Odpowiedź:

To zależy:

Jeśli wewnętrzny promień jest #20#, a następnie obwód:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132,55 #

Jeśli zewnętrzny promień jest #20#, a następnie obwód:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122,46 #

Wyjaśnienie:

Tutaj czerwone kółko otacza zewnętrzny promień, a zielony okrąg wewnętrzny.

Pozwolić # r # bądź zewnętrznym promieniem - jest to promień czerwonego okręgu.

Potem wierzchołki ośmioboku skupiły się na #(0, 0)# są na:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Długość jednej strony to odległość między # (r, 0) # i # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Więc całkowity obwód:

#color (czerwony) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Więc jeśli zewnętrzny promień jest #20#, a następnie obwód:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122,46 #

#kolor biały)()#

Wewnętrzny promień będzie # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Więc #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Wtedy całkowity obwód jest

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = kolor (zielony) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Więc jeśli wewnętrzny promień jest #20#, a następnie obwód:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132,55 #

#kolor biały)()#

Jak dobre jest przybliżenie #Liczba Pi# czy to nam daje?

Kiedy tu jesteśmy, do czego służy przybliżenie #Liczba Pi# czy otrzymujemy przez uśrednienie promieni wewnętrznych i zewnętrznych?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… więc nie świetnie.

Aby uzyskać tak dobre przybliżenie jak #355/113 ~~ 3.1415929#, chiński matematyk Zu Chongzhi użył #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) jednostronny wielokąt i pręty zliczające.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi