Czym jest pochodna (x ^ 2 + x) ^ 2?

Odpowiedź:

# y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

Wyjaśnienie:

Możesz rozróżnić tę funkcję, używając suma i zasady władzy. Zauważ, że możesz przepisać tę funkcję jako

#y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

#y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

Teraz zasada sum mówi, że dla funkcji, które przyjmują formę

#y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

możesz znaleźć pochodną # y # dodając pochodne tych indywidualnych funkcji.

#color (niebieski) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

W twoim przypadku masz

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2) #

Aby odróżnić te ułamki, użyj reguły mocy

#color (niebieski) (d / dx (x ^ a) = ax ^ (a-1)) #

Więc twoja pochodna wyjdzie na jaw

# y ^ '= 4x ^ (4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= kolor (zielony) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

Alternatywnie, możesz użyć reguły łańcucha, aby odróżnić # y #.

#color (niebieski) (d / dx (y) = d / (du) (y) * d / dx (u)) #

W twoim przypadku masz #y = u ^ 2 # i # u = x ^ 2 + x #, żebyś dostał

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 + x) #

# dy / dx = 2u * (2x + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2x) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = kolor (zielony) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #