Czym jest pochodna x ^ x?

Odpowiedź:

# dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #

Wyjaśnienie:

Mamy:

# y = x ^ x # Weźmy naturalny dziennik po obu stronach.

#ln (y) = ln (x ^ x) # Korzystając z tego faktu #log_a (b ^ c) = clog_a (b) #, # => ln (y) = xln (x) # Zastosować # d / dx # po obu stronach.

# => d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) #

Zasada łańcucha:

Jeśli #f (x) = g (h (x)) #, następnie #f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) #

Reguła mocy:

# d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) # Jeśli # n # jest stała.

Również, # d / dx (lnx) = 1 / x #

Wreszcie reguła produktu:

Jeśli #f (x) = g (x) * h (x) #, następnie #f '(x) = g' (x) * h (x) + g (x) * h '(x) #

Mamy:

# => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) #

# => dy / dx * 1 / y = 1 * ln (x) + x * 1 / x #

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + cancelx * 1 / cancelx #

(Nie martw się kiedy # x = 0 #, bo #ln (0) # jest niezdefiniowane)

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + 1 #

# => dy / dx = y (ln (x) +1) #

Teraz, od # y = x ^ x #, możemy zastąpić # y #.

# => dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #