Jaki jest wektor jednostkowy, który jest prostopadły do płaszczyzny zawierającej (i -2j + 3k) i (i - j + k)?

Odpowiedź:

Istnieją dwa kroki w znalezieniu tego rozwiązania: 1. Znajdź produkt krzyżowy dwóch wektorów, aby znaleźć wektor ortogonalny do płaszczyzny zawierającej je i 2. znormalizuj ten wektor, aby miał długość jednostkową.

Wyjaśnienie:

Pierwszym krokiem w rozwiązaniu tego problemu jest znalezienie produktu krzyżowego dwóch wektorów. Produkt krzyżowy z definicji znajduje wektor ortogonalny do płaszczyzny, w której mnożą się dwa wektory.

# (i 2j + 3k) xx (i j + k) #

= # ((- 2 * 1) - (3 * -1)) i + ((3 * 1) - (1 * 1)) j + ((1 * -1) - (- 2 * 1)) k #

= # (- 2 - (- 3)) i + (3-1) j + (- 1 - (- 2)) k #

= # (i + 2j + k) #

Jest to wektor prostopadły do płaszczyzny, ale nie jest jeszcze wektorem jednostkowym. Aby uczynić go jednym, musimy „znormalizować” wektor: podzielić każdy z jego składników na jego długość. Długość wektora # (ai + bj + ck) # jest dany przez:

#l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

W tym przypadku:

#l = sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt6 #

Dzielenie każdego składnika # (i + 2j + k) # przez # sqrt6 # daje naszą odpowiedź, że wektor jednostkowy jest prostopadły do płaszczyzny, w której # (i 2j + 3k) i (i j + k) # kłamstwo to:

# (i / sqrt6 + 2 / sqrt6j + k / sqrt6) #