Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Odpowiedź:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Wyjaśnienie:

szukamy:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Kiedy oceniamy limit, przyglądamy się zachowaniu funkcji „blisko” punktu, niekoniecznie zachowania funkcji „w” danym punkcie, a więc jako #x rarr 0 #, w żadnym momencie nie musimy rozważać, co się dzieje # x = 0 #, W ten sposób otrzymujemy trywialny wynik:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0)

# = 1 #

Dla jasności wykres funkcji do wizualizacji zachowania # x = 0 #

wykres {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Należy wyjaśnić, że funkcja # y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # jest nieokreślony w # x = 0 #

Odpowiedź:

Patrz poniżej.

Wyjaśnienie:

Definicje limitu używanej przeze mnie funkcji są równoważne:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # jeśli i tylko dla każdego pozytywnego # epsilon #, jest pozytywny #delta# takie, że dla każdego # x #, Jeśli # 0 <abs (x-a) <delta # następnie #abs (f (x) - L) <epsilon #

Z powodu znaczenia „#abs (f (x) - L) <epsilon #„to wymaga tego dla wszystkich # x # z # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # definiuje.

To znaczy dla wymaganego #delta#, wszystkie z # (a-delta, a + delta) # z wyjątkiem być może #za#, leży w domenie #fa#.

Wszystko to dostaje nas:

#lim_ (xrarra) f (x) # istnieje tylko wtedy, gdy #fa# jest zdefiniowany w niektórych otwartych przedziałach zawierających #za#, z wyjątkiem być może #za#.

(#fa# należy zdefiniować w niektórych usuniętych otwartych sąsiedztwach #za#)

W związku z tym, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # nie istnieje.

Prawie trywialny przykład

#f (x) = 1 # dla # x # irracjonalna rzeczywistość (nieokreślona dla racjonalistów)

#lim_ (xrarr0) f (x) # nie istnieje.