Odpowiedź:
# x = 9 #
Wyjaśnienie:
Szukamy największej liczby całkowitej, gdzie:
#f (x)> g (x) #
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9> 3 ^ x #
Możemy to zrobić na kilka sposobów. Jednym z nich jest po prostu wypróbowanie liczb całkowitych. Jako punkt odniesienia spróbujmy # x = 0 #:
#5(0)^4+30(0)^2+9>3^0#
#0+0+9>1#
i tak wiemy # x # ma co najmniej 0, więc nie ma potrzeby testowania ujemnych liczb całkowitych.
Widzimy, że największa moc po lewej to 4. Spróbujmy # x = 4 # i zobacz co się stanie:
#5(4)^4+30(4)^2+9>3^4#
#5(256)+30(4)^2+9>81#
Zatrzymam resztę matematyki - jasne, że lewa strona jest większa o znaczną kwotę. Więc spróbujmy # x = 10 #
#5(10)^4+30(10)^2+9>3^10#
#5(10000)+30(100)+9>59049#
#50000+3000+9>59049#
więc # x = 10 # jest za duży. Myślę, że naszą odpowiedzią będzie 9. Sprawdźmy:
#5(6561)+30(81)+9>19683#
#32805+30(81)+9>19683#
i znowu jest jasne, że lewa strona jest większa niż prawa. Tak więc nasza ostateczna odpowiedź brzmi # x = 9 #.
Jakie są inne sposoby na znalezienie tego? Mogliśmy wypróbować grafikę. Jeśli wyrazimy to jako # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x = 0 #, otrzymujemy wykres, który wygląda tak:
wykres {(5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x 0, 11, -10000, 20000}
i widzimy, że odpowiedź osiąga szczyt wokół # x = 8,5 # znak jest nadal pozytywny # x = 9 # i staje się ujemny przed osiągnięciem # x = 10 # - tworzenie # x = 9 # największa liczba całkowita.
Jak inaczej możemy to zrobić? Możemy rozwiązać # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x> 0 # algebraicznie.
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9-3 ^ x> 0 #
Aby ułatwić matematykę, zauważę to jako wartości # x # wzrost, warunki po lewej stronie zaczynają tracić na znaczeniu. Po pierwsze, 9 spadnie na znaczeniu, dopóki nie stanie się zupełnie bez znaczenia, i to samo dotyczy # 30x ^ 2 # semestr. Zmniejsza się to do:
# 5x ^ 4> 3 ^ x #
#log (5x ^ 4)> log (3 ^ x) #
# 4log5x> xlog3 #
# 4log5 + 4logx> xlog3 #
# (4log5 + 4logx) / log3> x #
i myślę, że robię z tego bałagan! algebra nie jest łatwym sposobem na rozwiązanie tego problemu!
