K jest liczbą rzeczywistą, która spełnia następującą właściwość: „na każde 3 liczby dodatnie, a, b, c; jeśli a + b + c K, a następnie abc K” Czy można znaleźć największą wartość K?

Odpowiedź:

# K = 3sqrt (3) #

Wyjaśnienie:

Jeśli umieścimy:

# a = b = c = K / 3 #

Następnie:

#abc = K ^ 3/27 <= K #

Więc:

# K ^ 2 <= 27 #

Więc:

#K <= sqrt (27) = 3sqrt (3) #

Jeśli mamy # a + b + c <= 3sqrt (3) # wtedy możemy powiedzieć, że sprawa # a = b = c = sqrt (3) # daje maksymalną możliwą wartość #ABC#:

Na przykład, jeśli naprawimy #c in (0, 3sqrt (3)) # i pozwól #d = 3sqrt (3) -c #, następnie:

# a + b = d #

Więc:

#abc = a (d-a) c #

#color (biały) (abc) = (ad-a ^ 2) c #

#color (biały) (abc) = (d ^ 2 / 4- (a ^ 2-2 (a) (d / 2) + (d / 2) ^ 2)) c #

#color (biały) (abc) = (d ^ 2- (a-d / 2) ^ 2) c #

który ma swoją maksymalną wartość kiedy # a = d / 2 # i # b = d / 2 #, to jest, kiedy # a = b #.

Podobnie jeśli naprawimy #b#, wtedy znajdziemy maksimum, kiedy # a = c #.

Stąd maksymalna wartość #ABC# jest osiągnięty, kiedy # a = b = c #.

Więc # K = 3sqrt (3) # to maksymalna możliwa wartość # a + b + c # takie #abc <= K #