Trójkąt A ma powierzchnię 12 i dwie strony długości 6 i 9. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok o długości 15. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?

Odpowiedź:

Maksymalna powierzchnia # trójkąt B = 75 #

Minimalna powierzchnia # trójkąt B = 100/3 = 33,3 #

Wyjaśnienie:

Podobne trójkąty mają identyczne kąty i proporcje wielkości. To znaczy zmiana w długości dowolnej strony większe lub mniejsze będą takie same dla pozostałych dwóch stron. W rezultacie obszar # podobny trójkąt # będzie również stosunek jednego do drugiego.

Wykazano, że jeśli stosunek boków podobnych trójkątów wynosi R, wówczas stosunek obszarów trójkątów wynosi # R ^ 2 #.

Przykład: dla a # 3,4,5, trójkąt prostokątny # siedzenie jest #3# podstawa, jej powierzchnia może być łatwo obliczona # A_A = 1 / 2bh = 1/2 (3) (4) = 6 #.

Ale jeśli wszystkie trzy strony są podwoił się w długości, obszar nowego trójkąta jest # A_B = 1 / 2bh = 1/2 (6) (8) = 24 # który jest #2^2# = 4A_A.

Z podanych informacji musimy znaleźć obszary dwóch nowych trójkątów, których boki są zwiększone z obu # 6 lub 9 do 15 # to są #podobny# do dwóch pierwszych.

Mamy tutaj #triangle A's # z obszarem # A = 12 # i boki # 6 i 9. #

Mamy też większy # podobny trójkąt B # z obszarem #B# i bok #15.#

Stosunek zmiany powierzchni #triangle A do trójkąta B # po której stronie # 6 do 15 # jest wtedy:

#triangle B = (15/6) ^ 2triangle A #

#triangle B = (15/6) ^ 2 (12) #

# trójkąt B = (225 / (anuluj (36) 3)) (anuluj (12)) #

# trójkąt B = 75 #

Stosunek zmiany powierzchni #triangle A do trójkąta B # po której stronie # 9 do 15 # jest wtedy:

#triangle B = (15/9) ^ 2triangle A #

#triangle B = (15/9) ^ 2 (12) #

# trójkąt B = (225 / (anuluj (81) 27)) (anuluj (12) 4) #

# trójkąt B = (anuluj (900) 100) / (anuluj (27) 3) #

#triangle B = 100/3 = 33,3 #

Odpowiedź:

Minimum to #2.567# a maksymalna to #70.772#

Wyjaśnienie:

TA ODPOWIEDŹ MOŻE BYĆ NIEWAŻNA I OCZEKUJE NA REKULACJĘ I PODWÓJNE SPRAWDZENIE! Sprawdź odpowiedź EET-AP na wypróbowaną metodę rozwiązania problemu.

Ponieważ dwa trójkąty są podobne, nazwijmy je trójkątami #ABC# i # DEF #, # A / D = B / E = C / F #. Nie podano, która strona ma długość 15, więc musimy ją obliczyć dla każdej wartości (# A = 6, B = 9 #) i aby to zrobić, musimy znaleźć wartość #DO#.

Zacznij od przypomnienia twierdzenia Herona # A = sqrt (S (S-A) (S-B) (S-C)) # gdzie # S = (A + B + C) / 2 #. # A + B = 15 #, więc # S = 7,5 + C #. Zatem równanie dla obszaru (zastąpione przez #12#) jest # 12 = sqrt ((7,5 + C / 2) (7,5 + C / 2-6) (7,5 + C / 2-9) (7,5 + C / 2-C) #. Upraszcza to # 144 = (7,5 + C / 2) (1,5 + C / 2) (7,5-C / 2) #, które pomnożyłem przez dwa, aby wyeliminować liczbę dziesiętną # 288 = (15 + C) (3 + C) (15-C) #. Pomnóż to, aby uzyskać # 144 = -C ^ 3-3C ^ 2 + 225C + 675 #, # 0 = -C ^ 3-3C ^ 2 + 225C + 531 #, # 0 = C ^ 3 + 3C ^ 2-225C-531 #. Czynnik ten, aby uzyskać # C ~ = 14,727 #.

Możemy teraz wykorzystać te informacje do znalezienia obszarów. Jeśli # F = 12 #, współczynnik skali między trójkątami wynosi #14.727/12#. Pomnożenie pozostałych dwóch stron przez tę liczbę daje # D = 13,3635 # i # E ~ = 11,045 #, i # S ~ = 19,568 #. Podłącz to do formuły Herona, aby uzyskać # A = 70,772 #. Wykonaj ten sam zestaw kroków z

# D = 12 # znaleźć to minimum #ZA# w przybliżeniu równa się #2.567#.

Trójkąt A ma powierzchnię 12 i dwie strony długości 3 i 8. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok długości 9. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?

Maksymalny możliwy obszar trójkąta B = 108 Minimalny możliwy obszar trójkąta B = 15,1875 Delta s A i B są podobne. Aby uzyskać maksymalną powierzchnię Delty B, strona 9 Delty B powinna odpowiadać stronie 3 Delty A. Boki są w proporcji 9: 3 Stąd obszary będą w stosunku 9 ^ 2: 3 ^ 2 = 81: 9 Maksymalny obszar trójkąta B = (12 * 81) / 9 = 108 Podobnie jak w przypadku minimalnej powierzchni, strona 8 Delty A będzie odpowiadać stronie 9 Delty B. Boki mają proporcje 9: 8 i obszary 81: 64 Minimalna powierzchnia Delta B = (12 * 81) / 64 = 15,1875

Trójkąt A ma powierzchnię 12 i dwie strony długości 3 i 8. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok o długości 15. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?

Maksymalny możliwy obszar trójkąta B wynosi 300 jednostek kwadratowych Minimalny możliwy obszar trójkąta B wynosi 36,99 Jednostka kwadratowa Powierzchnia trójkąta A to a_A = 12 Kąt zawarty między bokami x = 8, a z = 3 to (x * z * sin Y) / 2 = a_A lub (8 * 3 * sin Y) / 2 = 12:. sin Y = 1:. / _Y = sin ^ -1 (1) = 90 ^ 0 Dlatego kąt zawarty między bokami x = 8 i z = 3 wynosi 90 ^ 0 Strona y = sqrt (8 ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt 73. Dla maksimum obszar w trójkącie B Strona z_1 = 15 odpowiada najniższej stronie z = 3 Następnie x_1 = 15/3 * 8 = 40 i y_1 = 15/3 * sqrt 73 = 5 sqrt 73 Maksymalny możliwy obszar będzie (x_

Trójkąt A ma powierzchnię 12 i dwie strony długości 4 i 8. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok długości 7. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?

A_ "Bmin" ~~ 4.8 A_ "Bmax" = 36,75 Najpierw musisz znaleźć długości boków dla trójkąta A o maksymalnym rozmiarze, gdy najdłuższy bok jest większy niż 4 i 8, a trójkąt o minimalnej wielkości, gdy 8 jest najdłuższym bokiem. Aby to zrobić, użyj wzoru Heron's Area: s = (a + b + c) / 2 gdzie a, b, c są długościami boku trójkąta: A = sqrt (s (sa) (sb) (sc)) Let a = 8, b = 4 "i" c "to nieznane długości boków" s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 +