Odpowiedź:
Punkt # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) około (1.26694,1.16437) # jest lokalnym punktem minimalnym.
Wyjaśnienie:
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są # (częściowy f) / (częściowy x) = y-3x ^ {- 4} # i # (częściowy f) / (częściowy y) = x-2y ^ {- 3} #. Ustawienie tych wartości równych zero wyników w systemie # y = 3 / x ^ (4) # i # x = 2 / y ^ {3} #. Podpisywanie pierwszego równania na drugie daje # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Od #x! = 0 # w domenie #fa#, to skutkuje # x ^ {11} = 27/2 # i # x = (27/2) ^ {1/11} # po to aby # y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu są # (częściowy ^ {2} f) / (częściowy x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (częściowy ^ {2} f) / (częściowy y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, i # (częściowy ^ {2} f) / (częściowy x częściowy y) = (częściowy ^ {2} f) / (częściowy y częściowy x) = 1 #.
Wyróżnikiem jest zatem # D = (częściowy ^ {2} f) / (częściowy x ^ {2}) * (częściowy ^ {2} f) / (częściowy y ^ {2}) - ((częściowy ^ {2} f) / (częściowe x częściowe y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. To jest pozytywne w punkcie krytycznym.
Ponieważ czyste (nie mieszane) pochodne cząstkowe drugiego rzędu są również dodatnie, wynika z tego, że punkt krytyczny jest lokalnym minimum.
