Jakie są ekstrema f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 na [-oo, oo]?

Odpowiedź:

#f (x) # ma minimum na # x = 2 #

Wyjaśnienie:

Zanim przejdziesz dalej, zauważ, że jest to parabola skierowana w górę, co oznacza, że bez dalszych obliczeń możemy wiedzieć, że nie będzie ona miała żadnych maksimów i pojedynczego minimum w jej wierzchołku. Wypełnienie kwadratu pokaże nam to #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, dając wierzchołek, a więc jedyne minimum, na #x = 2 #. Zobaczmy jednak, jak byłoby to zrobione z rachunkiem.

Wszelkie ekstrema wystąpią albo w punkcie krytycznym, albo w punkcie końcowym danego przedziału. W naszym podanym przedziale # (- oo, oo) # jest otwarty, możemy zignorować możliwość punktów końcowych, a więc najpierw zidentyfikujemy krytyczne punkty funkcji, czyli punkt, w którym pochodna funkcji jest #0# lub nie istnieje.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Ustawienie tego na równe #0#, znajdujemy punkt krytyczny # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Teraz możemy sprawdzić, czy jest to ekstremum (i jaki), sprawdzając niektóre wartości #fa# wokół tego punktu lub za pomocą drugiego testu pochodnego. Użyjmy tego drugiego.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Tak jak #f '' (2) = 6> 0 #, drugi test pochodnej mówi nam o tym #f (x) # ma lokalne minimum # x = 2 #

Tak więc, używając #f '(x) # i #f '' (x) #, znaleźliśmy to #f (x) # ma minimum na # x = 2 #, dopasowując wynik znaleziony za pomocą algebry.