Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Nie znalazłem żadnych punktów siodłowych, ale było minimum:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Aby znaleźć ekstrema, weź pochodną cząstkową w odniesieniu do # x # i # y # sprawdzić, czy obie pochodne cząstkowe mogą być jednocześnie równe #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Jeśli jednocześnie muszą być równe #0#, tworzą układ równań:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

To liniowy układ równań po odjęciu, aby anulować # y #, daje:

# 3x - 1 = 0 => kolor (zielony) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => kolor (zielony) (y = -2/3) #

Ponieważ równania były liniowe, istniał tylko jeden punkt krytyczny, a więc tylko jedno ekstremum. Druga pochodna powie nam, czy było to maksimum czy minimum.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Te drugie częściowe są zgodne, więc wykres jest wklęsły wzdłuż # x # i # y # osie.

Wartość #f (x, y) # w punkcie krytycznym jest (przez ponowne podłączenie do oryginalnego równania):

#color (zielony) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = kolor (zielony) (- 1/3) #

Tak więc mamy minimum z #color (niebieski) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Teraz na pochodne krzyżowe sprawdzić, czy nie ma punktów siodłowych w kierunku przekątnym:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Ponieważ oba są zgodne, zamiast być przeciwnymi znakami, jest brak siodła.

Widzimy, jak wygląda ten wykres, aby sprawdzić: