Okres półtrwania kobaltu 60 wynosi 5 lat. Jak uzyskać model wykładniczego zaniku kobaltu 60 w postaci Q (t) = Q0e ^ kt?

Odpowiedź:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Wyjaśnienie:

Ustawiamy równanie różniczkowe. Wiemy, że szybkość zmiany kobaltu jest proporcjonalna do ilości obecnego kobaltu. Wiemy również, że jest to model zanikający, więc pojawi się znak ujemny:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Jest to miły, łatwy i rozdzielny odpowiednik:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# oznacza ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Podnieś każdą stronę do wykładniczej:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Teraz, gdy znamy ogólną formę, musimy ustalić, co # k # jest.

Niech okres półtrwania zostanie oznaczony przez # tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

# dlatego 1/2 = e ^ (- ktau) #

Weź naturalne kłody obu stron:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Dla porządku, przepisz #ln (1/2) = -ln (2) #

#therefore k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) yr ^ (- 1) #

# dlatego Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #