Załóżmy, że na konferencji pokojowej jest m Marsjanie i n Ziemianie. Aby upewnić się, że Marsjanie pozostaną spokojni podczas konferencji, musimy upewnić się, że żaden z dwóch Marsjan nie siedzi razem, tak że pomiędzy dwoma Marsjanami jest co najmniej jeden Ziemianin (patrz szczegół)

Odpowiedź:

za) # (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) # (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #

Wyjaśnienie:

Oprócz pewnych dodatkowych argumentów użyjemy trzech powszechnych technik liczenia.

Po pierwsze, wykorzystamy fakt, że jeśli istnieje # n # sposoby na zrobienie jednej rzeczy # m # sposoby zrobienia innego, a następnie zakładając, że zadania są niezależne (to, co możesz zrobić dla jednego, nie zależy od tego, co zrobiłeś w drugim), są # nm # sposoby na zrobienie obu. Na przykład, jeśli mam pięć koszulek i trzy pary spodni, to są #3*5=15# stroje, które mogę zrobić.

Po drugie, wykorzystamy tę liczbę sposobów zamawiania # k # obiekty są #k! #. To dlatego, że są # k # sposoby wyboru pierwszego obiektu, a następnie # k-1 # sposoby wyboru drugiego i tak dalej i tak dalej. Tak więc całkowita liczba sposobów jest #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Wreszcie wykorzystamy tę liczbę sposobów wyboru # k # obiekty z zestawu # n # obiekty są # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (wymawiane jako n wybierz k). Zarys tego, jak dotrzeć do tej formuły, znajduje się tutaj.

a) Jeśli początkowo pominiemy podziały, są #m! # sposoby zamawiania Marsjan i #n! # sposoby zamawiania Ziemian. Wreszcie musimy zobaczyć, gdzie znajdują się Marsjanie. Ponieważ każdy Marsjanin musi zostać umieszczony na końcu lub pomiędzy dwoma Ziemianami, są # n + 1 # lokalizacje, w których mogą siedzieć (jeden po lewej stronie każdego Ziemianina, a następnie jeszcze jeden po prawej). Ponieważ istnieją # m # Marsjanie, to znaczy, że są # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # możliwe sposoby ich umieszczenia. Zatem całkowita możliwa konfiguracja siedzeń jest

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Ten problem jest podobny do powyższego. Aby ułatwić sobie sprawę, wybierzmy Ziemianina i nazwijmy go prezydentem. Ponieważ nie ma znaczenia, w jaki sposób obraca się koło, zamiast odnosić się do ustaleń dotyczących siedzenia na podstawie bezwzględnego porządku, rozważymy rozmieszczenie miejsc siedzących w oparciu o ich stosunek do prezydenta.

Tak jak powyżej, jeśli zaczniemy od prezydenta i będziemy kontynuować zgodnie z ruchem wskazówek zegara wokół koła, możemy policzyć liczbę sposobów zamawiania pozostałych uczestników. Ponieważ istnieją # m # Marsjanie i # n-1 # Pozostali Ziemianie #m! # sposoby zamawiania Marsjan i # (n-1)! # sposoby zamawiania pozostałych Ziemian.

Następnie musimy ponownie ustawić Marsjan. Tym razem nie mamy dodatkowego miejsca na końcu, więc są tylko # n # lokalizacje, w których mogą usiąść. Potem są # ((n), (m)) = (n!) / (m! (n-m)!) # sposoby ich umieszczenia. Zatem całkowita możliwa konfiguracja siedzeń jest

# (n-1)! m! (n!) / (m! (n-m)!) = (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #