Odpowiedź:
Krzywa przecięcia może być parametryzowana jako # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
Wyjaśnienie:
Nie jestem pewien, co rozumiesz przez funkcję wektorową. Ale rozumiem, że starasz się reprezentować krzywą przecięcia dwóch powierzchni w pytaniu.
Ponieważ cylinder jest symetryczny wokół # z # oś może być łatwiejsza do wyrażenia krzywej we współrzędnych cylindrycznych.
Zmień na współrzędne cylindryczne:
#x = r cos
#y = r sin
#z = z #.
# r # to odległość od # z # oś i # jest kątem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara # x # oś w # x, y # samolot.
Wtedy staje się pierwsza powierzchnia
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #
# r ^ 2 = 81 #
# r = 9 #, z powodu pitagorejskiej tożsamości trygonometrycznej.
Druga powierzchnia staje się
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos.
Z równania pierwszej powierzchni dowiedzieliśmy się, że przecinająca się krzywa musi znajdować się na kwadracie # r ^ 2 = 81 # z pierwszej powierzchni, dając to
#z = 81 sin theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, krzywa sparametryzowana przez #. Ostatnim krokiem jest tożsamość trygonometryczna i odbywa się tylko z osobistych preferencji.
Z tego wyrażenia widzimy, że krzywa jest rzeczywiście krzywą, ponieważ ma jeden stopień swobody.
W sumie możemy zapisać krzywą jako
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, która jest funkcją wektorową pojedynczej zmiennej #.
Odpowiedź:
Zobacz poniżej.
Wyjaśnienie:
Biorąc pod uwagę skrzyżowanie
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z w RR):} #
z
# C_2-> z = x y #
lub # C_1 nn C_2 #
mamy
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
teraz rozwiązuje # x ^ 2, y ^ 2 # uzyskujemy krzywe parametryczne
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # lub
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2 -4 z ^ 2)))):} #
które są prawdziwe dla
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
Dołączono wykres przedstawiający krzywą przecięcia na czerwono (jeden liść).
