Jakie są bezwzględne ekstrema f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x w [0, pi / 4]?

Odpowiedź:

maks. bezwzględne: # (pi / 4, pi / 4) #

absolutna min: #(0, 0)#

Dany: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x w 0, pi / 4 #

Znajdź pierwszą pochodną, używając reguły produktu dwukrotnie.

Reguła produktu: # (uv) '= uv' + v u '#

Pozwolić #u = 2x; „„ u ”= 2 #

Pozwolić #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

W drugiej połowie równania:

Pozwolić #u = x; „„ u ”= 1 #

Pozwolić #v = cos (2x); "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2w (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

Uproszczać:

#f '(x) = anuluj (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x anuluj (-2x sin (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

Tożsamość pitagorejska # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Oznacza to, że nie ma wartości krytycznych, gdy #f '(x) = 0 #

Absolutne maksimum i minimum można znaleźć w punktach końcowych przedziału funkcji.

Testuj punkty końcowe funkcji:

#f (0) = 0; „Absolutne minimum:” (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4) #

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; „Absolutne maksimum:” (pi / 4, pi / 4) #