Jak znaleźć absolutne maksymalne i bezwzględne wartości f w danym przedziale: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) w [-1, 5]?

Odpowiedź:

Reqd. ekstremalne wartości są # -25 / 2 i 25/2 #.

Wyjaśnienie:

Używamy substytucji # t = 5sinx, t w -1,5 #.

Zauważ, że to zastąpienie jest dopuszczalne, ponieważ

# t w -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, co jest dobre, jak zasięg #grzech# zabawa. jest #-1,1#.

Teraz, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Od, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Dlatego wymagaj. kończyny są # -25 / 2 i 25/2 #.

Odpowiedź:

Znajdź monotonię funkcji ze znaku pochodnej i zdecyduj, które lokalne maksimum / minimum są największe, najmniejsze.

Absolutne maksimum to:

#f (3.536) = 12.5 #

Absolutne minimum to:

#f (-1) = - 4,899 #

Wyjaśnienie:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Pochodna funkcji:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Licznik ma dwa rozwiązania:

  # t_1 = sqrt (12,5) = 3,536 #

  # t_2 = -sqrt (12,5) = - 3,536 #

  Dlatego licznikiem jest:

  Negatyw dla #t w (-oo, -3,536) uu (3,536, + oo) #

  Pozytywne dla #t w (-3,536,3.536) #

• Mianownik jest zawsze dodatni # RR #, ponieważ jest to pierwiastek kwadratowy.

  Wreszcie podany zakres to #-1,5#

Dlatego pochodną funkcji jest:

- Negatyw dla #t w -1,3.536) #

- Pozytywne dla #t w (3.536,5) #

Oznacza to, że wykres najpierw idzie w górę #f (-1) # do #f (3.536) # a następnie przechodzi do #f (5) #. To sprawia #f (3.536) # absolutne maksimum i największa wartość #f (-1) # i #f (5) # to absolutne minimum.

Absolutne maksimum to #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

Dla absolutnego maksimum:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

W związku z tym, #f (-1) = - 4,899 # to absolutne minimum.

Na poniższym wykresie widać, że to prawda. Zignoruj obszar po lewej stronie #-1# ponieważ jest poza domeną:

wykres {xsqrt (25-x ^ 2) -14,4, 21,63, -5,14, 12,87}