Liczba 90 ^ 9 ma 1900 różnych dodatnich dzielników całkowych. Ile z nich to kwadraty liczb całkowitych?

Odpowiedź:

Wow - mogę odpowiedzieć na moje własne pytanie.

Wyjaśnienie:

Okazuje się, że podejście to jest kombinacją kombinatoryki i teorii liczb. Zaczynamy od faktoringu #90^9# w jego główne czynniki:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Sztuczka polega na tym, aby dowiedzieć się, jak znaleźć kwadraty liczb całkowitych, co jest stosunkowo proste. Kwadraty liczb całkowitych mogą być generowane na wiele sposobów z tej faktoryzacji:

#5^9*3^18*2^9#

Widzimy to #5^0#na przykład jest kwadratem liczby całkowitej i dzielnika #90^9#; również, #5^2#, #5^4#,#5^6#, i #5^8# wszystkie spełniają te warunki. Dlatego mamy 5 możliwych sposobów skonfigurowania dzielnika #90^9# to jest kwadrat liczby całkowitej, używając tylko 5s.

To samo rozumowanie dotyczy #3^18# i #2^9#. Każda parzysta moc tych pierwszych czynników - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 łącznie) dla 3 i 0, 2, 4, 6, 8 (5 razem) dla 2 - to doskonały kwadrat, który jest dzielnikiem #90^9#. Ponadto, dowolna kombinacja z tych pierwszych dzielników, którzy mają nawet moce, spełnia również warunki. Na przykład, #(2^2*5^2)^2# jest kwadratem liczby całkowitej, tak jak jest #(3^8*2^4)^2#; i oba, złożone z dzielników #90^9#, są także dzielnikami #90^9#.

Zatem żądana liczba kwadratów liczb całkowitych, które są dzielnikami #90^9# jest dany przez #5*10*5#, która jest mnożeniem możliwych wyborów dla każdego czynnika głównego (5 dla 5, 10 dla 3 i 5 dla 2). To jest równe #250#, która jest prawidłową odpowiedzią.

Właściciel sklepu stereo chce ogłosić, że ma w magazynie wiele różnych systemów dźwiękowych. Sklep prowadzi 7 różnych odtwarzaczy CD, 8 różnych odbiorników i 10 różnych głośników. Ile różnych systemów dźwiękowych może reklamować właściciel?

Właściciel może reklamować łącznie 560 różnych systemów dźwiękowych! Można myśleć o tym, że każda kombinacja wygląda następująco: 1 głośnik (system), 1 odbiornik, 1 odtwarzacz CD Jeśli mieliśmy tylko jedną opcję dla głośników i odtwarzaczy CD, ale nadal mamy 8 różnych odbiorników, to byłoby 8 kombinacji. Jeśli naprawiliśmy tylko głośniki (udawajmy, że dostępny jest tylko jeden system głośników), to możemy stamtąd pracować dalej: S, R_1, C_1 S, R_1, C_2 S, R_1, C_3 ... S, R_1, C_8 S , R_2, C_1 ... S, R_7, C_8 Nie zamierzam pisać każdej kombinacji, ale chodzi o to, że nawet jeśli liczba głośnik&

Znając wzór na sumę N liczb całkowitych a) jaka jest suma pierwszych N kolejnych liczb całkowitych kwadratowych, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Suma pierwszych N kolejnych liczb całkowitych sześcianu Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Dla S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Mamy sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3 sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3 sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 rozwiązywanie dla sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni ale sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 tak sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^ 3 /

Jaka jest środkowa liczba całkowita 3 kolejnych dodatnich liczb całkowitych parzystych, jeśli iloczyn mniejszych dwóch liczb całkowitych jest 2 mniejszy niż 5-krotność największej liczby całkowitej?

8 „3 kolejne dodatnie, nawet liczby całkowite” można zapisać jako x; x + 2; x + 4 Iloczyn dwóch mniejszych liczb całkowitych to x * (x + 2) „5 razy większa liczba całkowita” to 5 * (x +4):. x * (x + 2) = 5 * (x + 4) - 2 x ^ 2 + 2x = 5x + 20 - 2 x ^ 2 -3x-18 = 0 (x-6) (x + 3) = 0 We może wykluczyć wynik ujemny, ponieważ liczby całkowite są dodatnie, więc x = 6 Środkowa liczba całkowita wynosi zatem 8