Odpowiedź:
Zrób kilka mnożników, skorzystaj z tożsamości wyzwalających i upraszczaj. Zobacz poniżej.
Wyjaśnienie:
Przypomnij sobie tożsamość pitagorejską # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Podziel obie strony według # cos ^ 2x #:
# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #
# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #
Wykorzystamy tę ważną tożsamość.
Skupmy się na tym wyrażeniu:
# secx + 1 #
Zauważ, że jest to równoważne # (secx + 1) / 1 #. Pomnóż górę i dół przez # secx-1 # (ta technika jest znana jako mnożenie sprzężone):
# (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #
# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #
# -> (sec ^ 2x-1) / (secx-1) #
Z # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, widzimy to # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Dlatego możemy zastąpić licznik # tan ^ 2x #:
# (tan ^ 2x) / (secx-1) #
Nasz problem brzmi teraz:
# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #
Mamy wspólny mianownik, więc możemy dodać ułamki po lewej stronie:
# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #
# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #
Styczne anuluj:
# (anuluj (tan ^ 2x) + 1-anuluj (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #
Pozostawiając nas z:
# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #
Od # secx = 1 / cosx #, możemy przepisać to jako:
# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #
Dodając ułamki do mianownika, widzimy:
# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #
# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #
# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #
Korzystanie z nieruchomości # 1 / (a / b) = b / a #, mamy:
# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #
I to uzupełnia dowód.
# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #
# = ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #
# = (sec ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #
# = cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #
#color (czerwony) („putting”, sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #
# = cosx / (cosxsecx-cosx) #
#color (czerwony) („putting”, cosxsecx = 1) #
# = cosx / (1-cosx) = RHS #
