Jaki jest wektor jednostkowy, który jest prostopadły do płaszczyzny zawierającej (- 5 i + 4 j - 5 k) i (4 i + 4 j + 2 k)?

Odpowiedź:

Istnieją dwa etapy: (1) znaleźć produkt krzyżowy wektorów, (2) znormalizować wynikowy wektor. W tym przypadku odpowiedź brzmi:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Wyjaśnienie:

Produkt krzyżowy dwóch wektorów daje wektor, który jest prostopadły (pod kątem prostym) do obu.

Produkt krzyżowy dwóch wektorów #(za#ja# + b #jot# + c #k#)# i # (p #ja# + q #jot# + r #k#)# jest dany przez # (b * r-c * q) i + (c * p-a * r) j + (a * q-b * p) k #

Pierwszym krokiem jest znalezienie produktu krzyżowego:

# (- 5i + 4j-5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

Wektor ten jest prostopadły do obu oryginalnych wektorów, ale nie jest wektorem jednostkowym. Aby uczynić go wektorem jednostkowym, musimy go znormalizować: podzielić każdy jego komponent przez długość wektora.

# l = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 # jednostki

Wektor jednostkowy ortogonalny do oryginalnych wektorów to:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Jest to jeden wektor jednostkowy, który jest prostopadły do obu oryginalnych wektorów, ale jest inny wektor - ten w dokładnie przeciwnym kierunku. Po prostu zmiana znaku każdego ze składników daje drugi wektor prostopadły do oryginalnych wektorów.

# (- (28) / (46,7) i + (10) / (46,7) j + (36) / (46,7) k) #

(ale to pierwszy wektor, który powinieneś zaoferować jako odpowiedź na test lub zadanie!)