Jaka jest średnia wartość funkcji f (x) = cos (x / 2) w przedziale [-4,0]?

Odpowiedź:

# 1 / 2sin (2) #około #0.4546487#

Wyjaśnienie:

Średnia wartość #do# funkcji #fa# w przerwie # a, b # jest dany przez:

# c = 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx #

Tutaj przekłada się to na średnią wartość:

# c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

Użyjmy podstawienia # u = x / 2 #. To daje do zrozumienia ze # du = 1 / 2dx #. Możemy następnie przepisać całkę jako taką:

# c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

# c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) #

Dzielenie się #1/4# w #1/2*1/2# pozwala na # 1 / 2dx # aby być obecnym w całce, abyśmy mogli łatwo dokonać substytucji # 1 / 2dx = du #. Musimy także zmienić granice na granice # u #, nie # x #. Aby to zrobić, weź prąd # x # granice i podłącz je do # u = x / 2 #.

# c = 1 / 2int _ (- 2) ^ 0cos (u) du #

To jest wspólna integralność (zauważ # d / dxsin (x) = cos (x) #):

# c = 1/2 sin (u) _ (- 2) ^ 0 #

Ocena:

# c = 1/2 (sin (0) -sin (-2)) #

# c = -1 / 2sin (-2) #

Zauważ, że #sin (-x) = - sin (x) #:

# c = 1 / 2sin (2) #

#c około 0,4546487 #

Średnia wartość funkcji v (x) = 4 / x2 w przedziale [[1, c] jest równa 1. Jaka jest wartość c?

C = 4 Średnia wartość: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Więc średnia wartość to (-4 / c + 4) / (c-1) Rozwiązywanie (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 daje nam c = 4.

Jaka jest średnia wartość funkcji f (x) = (x-1) ^ 2 w przedziale [1,5]?

16/3 f (x) = (x-1) ^ 2 = x ^ 2-2x + 1 „Średnia wszystkich punktów„ f (x) w [a, b] = (int_a ^ bf (x) dx) / (ba) int_1 ^ 5 (x ^ 2-2x + 1) dx = [x ^ 3/3-x ^ 2 + x] _1 ^ 5 = [5 ^ 3 / 3-5 ^ 2 + 5] - [ 1 / 3-1 + 1] = 65 / 3-1 / 3 = 64/3 (64/3) / 4 = 16/3

Jaka jest średnia wartość funkcji f (t) = te ^ (- t ^ 2) w przedziale [0,5]?

Jest to 1/10 (1-e ^ -25) 1 / (5-0) int_0 ^ 5 te ^ (- t ^ 2) dt = -1/10 int_0 ^ 5 e ^ (- t ^ 2) (- 2t) dt = -1/10 [e ^ (- t ^ 2)] _ 0 ^ 5 = -1/10 (e ^ -25 - e ^ 0) = 1/10 (1-e ^ -25)