Użyj testu współczynnika, aby znaleźć zbieżność następujących serii?

Odpowiedź:

Szereg jest rozbieżny, ponieważ limit tego stosunku wynosi> 1

#lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 #

Wyjaśnienie:

Pozwolić #na# być n-tym terminem tej serii:

#a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) #

Następnie

#a_ (n + 1) = ((2 (n + 1))!) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) #

# = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ((n + 1)!) ^ 2) #

# = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) #

# = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) #

# = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) #

#a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) #

#a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) #

Ograniczenie tego stosunku

#lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 #

Tak więc seria jest rozbieżna.

Jeśli suma współczynnika 1, 2, 3 terminu rozszerzenia (x2 + 1 / x) podniesionego do potęgi m wynosi 46, znajdź współczynnik terminów, który nie zawiera x?

Najpierw znajdź m. Pierwsze trzy współczynniki będą zawsze („_0 ^ m) = 1, („ _1 ^ m) = m, i („_2 ^ m) = (m (m-1)) / 2. Suma tych upraszcza się do m ^ 2/2 + m / 2 + 1. Ustaw wartość równą 46 i rozwiąż dla m. m ^ 2/2 + m / 2 + 1 = 46 m ^ 2 + m + 2 = 92 m ^ 2 + m - 90 = 0 (m + 10) (m - 9) = 0 Jedynym pozytywnym rozwiązaniem jest m = 9. Teraz, w rozszerzeniu o m = 9, terminem bez x musi być termin zawierający (x ^ 2) ^ 3 (1 / x) ^ 6 = x ^ 6 / x ^ 6 = 1 Ten termin ma współczynnik („_6 ^ 9) = 84. Rozwiązaniem jest 84.

U_1, u_2, u_3, ... są w progresji geometrycznej (GP). Wspólnym stosunkiem terminów w serii jest K. Teraz określ sumę serii u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) w postaci K i u_1?

Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) Ogólny termin postępu geometrycznego można zapisać: a_k = ar ^ (k-1) gdzie a jest początkowym wyrażeniem i r wspólnym współczynnikiem. Suma do n jest określona wzorem: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) kolor (biały) () Z informacjami podanymi w pytaniu ogólna formuła dla u_k może być napisane: u_k = u_1 K ^ (k-1) Zauważ, że: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Więc: sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) kolor (biały) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k +1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) *

Jak znaleźć zbieżność lub rozbieżność tej serii? suma od 1 do nieskończoności 1 / n ^ lnn

Jest zbieżny. Rozważmy serię sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, gdzie p> 1. W teście p ta seria jest zbieżna. Teraz 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p dla wszystkich wystarczająco dużych n, dopóki p jest wartością skończoną. Tak więc, przez bezpośredni test porównawczy, sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n zbiega się. W rzeczywistości wartość jest w przybliżeniu równa 2.2381813.