Odpowiedź:
To się zbiega
Wyjaśnienie:
Rozważ serię
Teraz,
Tak więc, przez bezpośredni test porównawczy,
W rzeczywistości wartość jest w przybliżeniu równa
Suma serii 1 / (1 * 2) - 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) - .... do nieskończoności jest równa?
Suma wynosi = 2ln2-1 Ogólny termin serii to = (- 1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) Dokonujemy dekompozycji na częściowe ułamki 1 / (n (n + 1) ) = A / n + B / (n + 1) = (A (n + 1) + Bn) / (n (n + 1)) Tak, 1 = A (n + 1) + Bn Gdy n = 0, =>, 1 = A Gdy n = -1, =>, 1 = -B Dlatego 1 / (n (n + 1)) = 1 / n-1 / (n + 1) (-1) ^ (n +1) / (n (n + 1)) = (- 1) ^ (n + 1) / n - (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n-sum_0 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n + 1) ln (1 + x) = sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n * x ^ n sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n = ln2 sum_0 ^ ( oo) (- 1) ^ (n + 1) / (n +
Użyj testu współczynnika, aby znaleźć zbieżność następujących serii?
Szereg jest rozbieżny, ponieważ limit tego współczynnika wynosi> 1 lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 Niech a_n będzie n-tym terminem tej serii: a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) Następnie a_ (n + 1 ) = ((2 (n + 1))!) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ( (n + 1)!) ^ 2) = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) = ( (2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1))
Jak znaleźć pierwsze trzy terminy serii Maclaurina dla f (t) = (e ^ t - 1) / t przy użyciu serii Maclaurin e ^ x?
Wiemy, że seria Maclaurina e ^ x jest sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) Możemy również uzyskać tę serię za pomocą rozszerzenia Maclaurina f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) oraz fakt, że wszystkie pochodne e ^ x są nadal e ^ x i e ^ 0 = 1. Teraz wystarczy zastąpić powyższą serię na (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + suma (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Jeśli chcesz, aby indeks zaczynał się od i = 0, po prostu zastąp n = i + 1: = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !) Teraz po prostu oceń pierwsze