Jak rozwiązać sqrt (x + 3) -sqrt x = sqrt (4x-5)?

Odpowiedź:

# x = 16/11 #

Wyjaśnienie:

Jest to skomplikowane równanie, więc najpierw musisz określić jego dominację:

# x + 3> = 0 i x> 0 i 4x-5> = 0 #

#x> = - 3 i x> 0 i x> = 5/4 => x> = 5/4 #

Standardowym sposobem rozwiązania tego typu równań jest kwadratowanie działek, przyznając, że:

#color (czerwony) (jeśli a = b => a ^ 2 = b ^ 2) #

Przynosi to jednak fałszywe rozwiązania, ponieważ

#color (czerwony) (jeśli a = -b => a ^ 2 = b ^ 2) #

Musimy więc sprawdzić rozwiązania po uzyskaniu wyników.

Zacznijmy teraz:

#sqrt (x + 3) -sqrt (x) = sqrt (4x-5) #

# (sqrt (x + 3) -sqrt (x)) ^ 2 = (sqrt (4x-5)) ^ 2 #

# x + 3-2sqrt ((x + 3) x) + x = 4x-5 #

Teraz nadal masz w równaniu „sqrt”, więc musisz go ponownie ustawić. Zmień układ równania, aby wyizolować korzeń:

# 2sqrt (x ^ 2 + 3x) = 4x-5-x-3-x #

# 2sqrt (x ^ 2 + 3x) = 2x-8 #

#sqrt (x ^ 2 + 3x) = x-4 #

kwadratura:

# x ^ 2 + 3x = x ^ 2-8x + 16 #

Co daje:

# x = 16/11 #

Pierwszy #16/11>5/4?#(dominacja określona powyżej)

Umieść je w tym samym mianowniku:

# (16/11) xx (4/4)> (5/4) xx (11/11)?

# 64/44> 55/44, prawda #

Czy rozwiązanie jest prawdziwe?

#sqrt (16/11 + 3) -sqrt (16/11) = sqrt (4xx16 / 11-5) #

#sqrt (49/11) -sqrt (16/11) = sqrt (9/11) #

# (sqrt (49) -sqrt (16)) / sqrt (11) = sqrt (9/11) #

# (7-4) / sqrt (11) = 3 / sqrt (11), true #

Odpowiedź:

# x = 16/11 #

Wyjaśnienie:

#1#. W kontaktach z radykałami staraj się je najpierw wyeliminować. Zacznij więc od kwadratu obu stron równania.

#sqrt (x + 3) -sqrt (x) = sqrt (4x-5) #

# (sqrt (x + 3) -sqrt (x)) ^ 2 = (sqrt (4x-5)) ^ 2 #

#2#. Uproszczać.

# (sqrt (x + 3) -sqrt (x)) (sqrt (x + 3) -sqrt (x)) = 4x-5 #

# x + 3-sqrt (x (x + 3)) - sqrt (x (x + 3)) + x = 4x-5 #

# 2x + 3-sqrt (x ^ 2 + 3x) -sqrt (x ^ 2 + 3x) = 4x-5 #

# -2sqrt (x ^ 2 + 3x) = 2x-8 #

#sqrt (x ^ 2 + 3x) = - 1/2 (2x-8) #

#sqrt (x ^ 2 + 3x) = - x + 4 #

#3#. Ponieważ lewa strona zawiera radykalnie, ponownie wyrównaj całe równanie.

# (sqrt (x ^ 2 + 3x)) ^ 2 = (- x + 4) ^ 2 #

#4#. Uproszczać.

# (sqrt (x ^ 2 + 3x)) (sqrt (x ^ 2 + 3x)) = (- x + 4) (- x + 4) #

# x ^ 2 + 3x = x ^ 2-4x-4x + 16 #

#color (czerwony) cancelcolor (czarny) (x ^ 2) + 3x = kolor (czerwony) cancelcolor (czarny) (x ^ 2) -8x + 16 #

# 3x = -8x + 16 #

#5#. Rozwiąż dla # x #.

# 11x = 16 #

#color (zielony) (x = 16/11) #

#:.#, # x # jest #16/11#.