Co to jest phi, jak zostało odkryte i jakie są jego zastosowania?

Co to jest phi, jak zostało odkryte i jakie są jego zastosowania?
Anonim

Odpowiedź:

Kilka myśli …

Wyjaśnienie:

#phi = 1/2 + sqrt (5) / 2 ~~ 1.6180339887 # jest znany jako Złoty Stosunek.

Był znany i badany przez Euklidesa (około 3 lub 4 wieku pne), zasadniczo dla wielu właściwości geometrycznych …

Ma wiele interesujących właściwości, z których kilka tutaj …

Sekwencję Fibonacciego można zdefiniować rekurencyjnie jako:

# F_0 = 0 #

# F_1 = 1 #

#F_ (n + 2) = F_n + F_ (n + 1) #

Zaczyna się:

#0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…#

Stosunek między kolejnymi terminami ma tendencję # phi #. To jest:

#lim_ (n-> oo) F_ (n + 1) / F_n = phi #

W rzeczywistości ogólny termin ciągu Fibonacciego jest podany wzorem:

#F_n = (phi ^ n - (-phi) ^ (- n)) / sqrt (5) #

Prostokąt z bokami w stosunku #phi: 1 # nazywa się Złoty Prostokąt. Jeśli kwadrat o maksymalnym rozmiarze zostanie usunięty z jednego końca złotego prostokąta, pozostały prostokąt będzie złotym prostokątem.

Jest to związane zarówno ze stosunkiem granicznym sekwencji Fibonacciego, jak iz faktem, że:

#phi = 1; bar (1) = 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + …))))) #

która jest najwolniej zbieżną standardową frakcją ciągłą.

Jeśli umieścisz trzy złote prostokąty symetrycznie prostopadłe do siebie w trójwymiarowej przestrzeni, wtedy dwanaście rogów tworzy wierzchołki regularnego dwudziestościanu. Dlatego możemy obliczyć pole powierzchni i objętość regularnego dwudziestościanu o danym promieniu. Zobacz

Trójkąt równoramienny o bokach w stosunku #phi: phi: 1 # ma kąty bazowe # (2pi) / 5 # i kąt wierzchołkowy # pi / 5 #. To pozwala nam obliczyć dokładne wzory algebraiczne dla #sin (pi / 10) #, #cos (pi / 10) # i ostatecznie dla dowolnej wielokrotności # pi / 60 # (#3^@#). Zobacz