Czym jest lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)), gdy x zbliża się do 1 z prawej strony?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

wykres {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

To byłoby o wiele łatwiejsze, gdybyśmy po prostu wzięli # ln # obu stron. Od # x ^ (1 / (1-x)) # jest ciągły w otwartym przedziale na prawo od #1#, możemy to powiedzieć:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Od #ln (1) = 0 # i #(1 - 1) = 0#, to jest forma #0/0# obowiązuje zasada L'Hopital:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

I oczywiście, # 1 / x # jest ciągły z każdej strony #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

W rezultacie pierwotny limit to:

#color (niebieski) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = kolor (niebieski) (1 / e) #