Jakie jest równanie linii stycznej f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) przy x = -2?

Odpowiedź:

Odnaleźć #f (-2) # i #f '(- 2) # następnie użyj wzoru linii stycznej.

Równanie stycznej to:

# y = 167,56x + 223,21 #

Wyjaśnienie:

#f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) #

Znajdź funkcję pochodną:

#f '(x) = (14x ^ 3)' - (4x ^ 2e ^ (3x)) '#

#f '(x) = 14 (x ^ 3)' - 4 (x ^ 2) 'e ^ (3x) + 4x ^ 2 (e ^ (3x))' #

#f '(x) = 14 * 3x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 4x ^ 2 * e ^ (3x) * (3x)' #

#f '(x) = 42x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 4x ^ 2 * e ^ (3x) * 3 #

#f '(x) = 42x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 12x ^ 2 * e ^ (3x) #

#f '(x) = 42x ^ 2-8xe ^ (3x) 1 + 6x #

Odkrycie #f (-2) #

#f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) #

#f (-2) = 14 * (- 2) ^ 3-4 * (- 2) ^ 2e ^ (3 * (- 2)) #

#f (-2) = 32e ^ (- 6) -112 #

#f (-2) = 111,92 #

i #f '(- 2) #

#f '(x) = 42x ^ 2-8xe ^ (3x) 1 + 6x #

#f '(- 2) = 42 * (- 2) ^ 2-8 * (- 2) e ^ (3 * (- 2)) 1 + 6 * (- 2) #

#f '(- 2) = 168-176e ^ (- 6) #

#f '(- 2) = 167,56 #

Teraz definicja pochodnej:

#f '(x) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

Jeśli # x_0 = -2 #

#f '(- 2) = (y-f (-2)) / (x - (- 2)) #

# 167,56 = (y-111,92) / (x + 2) #

# 167,56 (x + 2) = y-111,92 #

# y = 167,56x + 167,56 * 2 + 111,92 #

# y = 167,56x + 223,21 #

wykres {14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) -227, 254, -214.3, 26,3}

Jak widać powyżej, wykres rośnie w dużym tempie #x <0 # więc duże nachylenie jest właściwie uzasadnione.

Uwaga: jeśli nie możesz używać kalkulatora, musisz po prostu przenieść #e ^ (- 6) # od początku. Pamiętaj o zasadach uprawnień:

#e ^ (- 6) = 1 / e ^ 6 #

#e ^ (- 6) * e ^ (- 6) = (e ^ (- 6)) ^ 2 = e ^ (- 6 * 2) = e ^ (- 12) #

Jakie jest równanie linii stycznej f (x) = 6x-x ^ 2 przy x = -1?

Patrz poniżej: Pierwszym krokiem jest znalezienie pierwszej pochodnej f. f (x) = 6x-x ^ 2 f '(x) = 6-2x Stąd: f' (- 1) = 6 + 2 = 8 Wartość 8 jest taka, że jest to gradient f gdzie x = - 1 Jest to również gradient linii stycznej, która dotyka wykresu f w tym punkcie. Zatem nasza funkcja liniowa jest obecnie y = 8x. Musimy jednak również znaleźć punkt przecięcia z osią y, ale aby to zrobić, potrzebujemy również współrzędnej y punktu, w którym x = -1. Podłącz x = -1 do f. f (-1) = - 6- (1) = - 7 Więc punkt na linii stycznej to (-1, -7) Teraz, używając formuły gradientu, możemy znaleźć r&

Jakie jest równanie linii stycznej f (x) = sqrt (x ^ 2e ^ x) przy x = 3?

Y = 11,2x-20,2 Lub y = (5e ^ (3/2)) / 2x-2e ^ (3/2) y = e ^ (3/2) ((5x) / 2-2) Mamy: f (x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (1/2) f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [x ^ 2e ^ x] f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) f' (x) = ((2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2)) / 2 f '(x) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2 (x ^ 2e ^ x) ^ (1 / 2)) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2sqrt (x ^ 2e ^ x)) f '(3) = (2 (3) e ^ 3 + 3 ^ 2e ^ 3) / (2sqrt (3 ^ 2e ^ 3)) = (5e ^ (3/2)) / 2 ~~ 11.2 y = mx + cf (3) = sqrt (9e ^ 3) = 3e ^ (3/2) ~~ 13,4 13,4 = 11,2 (3) + cc = 13,4-11,2 (3) = - 20,2 y = 11,2x-20,2 Lub y =

Dla f (x) = sinx jakie jest równanie linii stycznej przy x = (3pi) / 2?

Y = -1 Równanie linii stycznej dowolnej funkcji w x = a jest określone wzorem: y = f '(a) (x-a) + f (a). Potrzebujemy więc pochodnej f. f '(x) = cos (x) i cos ((3pi) / 2) = 0, więc wiemy, że linia styczna przy x = 3pi / 2 jest pozioma i wynosi y = sin ((3pi) / 2) = - 1