Liczby rzeczywiste a, b i c spełniają równanie: 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2 - 4ab - 12ac = 0. Tworząc doskonałe kwadraty, jak udowodnić, że a = 2b = c?

Odpowiedź:

# a = 2b = 3c #, Zobacz wyjaśnienie i dowód poniżej.

Wyjaśnienie:

# 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2-4ab-12ac = 0 #

Zauważ, że wszystkie współczynniki są nawet inne niż dla ^ 2, tj. 3, przepisz jako następującą dla grupy dla faktoringu:

# a ^ 2-4ab + 4b ^ 2 + 2a ^ 2-12ac + 18c ^ 2 = 0 #

# (a ^ 2-4ab + 4b ^ 2) +2 (a ^ 2-6ac + 9c ^ 2) = 0 #

# (a - 2b) ^ 2 + 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

Mamy doskonały termin kwadratowy plus kwadrat dwa razy lepszy od innego terminu równego zero, aby było to prawdą, że każdy termin sumy musi być równy zero, a następnie:

# (a - 2b) ^ 2 = 0 # i # 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

# a-2b = 0 # i # a-3c = 0 #

# a = 2b # i # a = 3c #

a zatem:

# a = 2b = 3c #

Stąd udowodnione.