Jak uprościć root3 (1)?

Odpowiedź:

#1# lub #1^(1/3)# =#1#

Wyjaśnienie:

Sześcienny pierwiastek 1 jest taki sam jak podniesienie 1 do potęgi #1/3#. 1 do potęgi czegokolwiek jest nadal 1.

Odpowiedź:

Praca w realiach, które otrzymujemy #root 3 {1} = 1 #.

Każda niezerowa liczba zespolona ma trzy pierwiastki sześcianu, więc

#root 3 {1} = 1 lub -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Wyjaśnienie:

Jeśli pracujemy na liczbach rzeczywistych, po prostu zauważamy #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. Zakładam, że chodzi o liczby złożone.

Jedną z dziwnych rzeczy, które odkrywamy, gdy zagłębiamy się w liczby zespolone, jest funkcja #f (z) = e ^ {z} # jest okresowy. Wykładniczy wzrost jest czymś w rodzaju przeciwieństwa okresowego, więc jest to niespodzianka.

Kluczowym faktem jest kwadrat Eulera. Nazywam to Prawdziwa tożsamość Eulera.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Widać prawdziwą tożsamość Eulera # e ^ z # jest okresowy z okresem # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Możemy podnieść Prawdziwą Tożsamość Eulera na dowolną moc całkowitą # k #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Co to wszystko ma wspólnego z pierwiastkiem sześcianu? To jest klucz. Mówi, że istnieje niezliczona ilość sposobów na jej napisanie. Niektóre z nich mają inne korzenie sześcianu niż inne. Dlatego wykładniki nie będące liczbami całkowitymi powodują powstawanie wielu wartości.

To wszystko jest duże. Zazwyczaj zaczynam je od napisania:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # dla liczby całkowitej # k #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + ja grzech (2pi k / 3) #

Ostatnim krokiem jest oczywiście Formuła Eulera # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

Ponieważ mamy # 2pi # okresowość funkcji wyzwalających (co wynika z okresowości wykładniczej i formuły Eulera) mamy tylko unikalne wartości dla trzech kolejnych # k #s. Oceńmy to za # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Otrzymujemy trzy wartości dla pierwiastka kostki jednego:

#root 3 {1} = 1 lub -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #