Jaki jest obszar zamknięty 2x + 3y <= 6?

Odpowiedź:

#A = 12 #

Wyjaśnienie:

Wartość bezwzględna jest podana przez

# | a | = {(a, a> 0), (- a, a <0):} #

W związku z tym rozważymy cztery przypadki. Obszar zamknięty przez # 2 | x | +3 | y | <= 6 # będzie obszarem otoczonym przez cztery różne przypadki. Są to odpowiednio:

#diamond x> 0 and y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# 2x + 3y <= 6 => y <= 2-2 / 3x #

Część obszaru, którego szukamy, będzie obszarem zdefiniowanym przez wykres

#y = 2-2 / 3x #

a osie:

Ponieważ jest to trójkąt prawy z wierzchołkami #(0,2)#, #(3,0)# i #(0,0)#, jego nogi będą miały długości #2# i #3# a jego obszar będzie:

# A_1 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Drugi przypadek będzie

#diamond x <0 and y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# -2x + 3y <= 6 => y <= 2 + 2 / 3x #

Ponownie potrzebny obszar zostanie zdefiniowany przez wykres # y = 2 + 2 / 3x # a osie:

Ten ma wierzchołki #(0,2)#, #(-3,0)# i #(0,0)#, po raz kolejny mając nogi o długości #2# i #3#.

# A_2 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Jest tu wyraźnie jakaś symetria. Analogicznie, rozwiązanie dla czterech obszarów przyniesie taki sam rezultat; wszystkie trójkąty mają powierzchnię #3#. Jako taki obszar objęty przez

# 2 | x | + 3 | y | <= 6 #

jest

# A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 4 * 3 = 12 #

Jak widać powyżej, kształt opisany przez # 2 | x | +3 | y | <= 6 # to romb.