Jak znaleźć pierwszą pochodną f (x) = 2 sin (3x) + x?

Odpowiedź:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Wyjaśnienie:

Rozróżnij każdy termin:

# (d (x)) / dx = 1 #

Korzystając z reguł łańcucha dla drugiego terminu mamy:

#g (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

#h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#g (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Razem mamy:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Odpowiedź:

Jesteśmy proszeni o znalezienie pochodnej #f (x) = 2sin (3x) + x # używając definicji: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Wyjaśnienie:

Musimy ocenić:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

Będzie to kłopotliwe. Aby wyglądało to mniej skomplikowane, podzielmy wyrażenie na dwie prostsze części. Weźmy oddzielnie część trygonometryczną i część liniową.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Zakładam, że możesz pokazać, że drugi limit to #1#. Bardziej wymagającym limitem jest limit obejmujący funkcje trygonometryczne.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) # #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6 cos (3x) #

Tak więc, kiedy zestawimy te dwa elementy, otrzymamy:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #