Znając wzór na sumę N liczb całkowitych a) jaka jest suma pierwszych N kolejnych liczb całkowitych kwadratowych, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Suma pierwszych N kolejnych liczb całkowitych sześcianu Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Odpowiedź:

Dla #S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ n i ^ k #

# S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 #

# S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n) #

# S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 #

Wyjaśnienie:

Mamy

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 #

#sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3 sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 #

# 0 = 3 sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 + 3 sum_ {i = 0} ^ n i + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 #

rozwiązywanie dla #sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 #

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ n i #

ale #sum_ {i = 0} ^ n i = ((n + 1) n) / 2 # więc

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3 - ((n + 1) n) / 2 #

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n) #

Korzystając z tej samej procedury dla #sum_ {i = 0} ^ n i ^ 3 #

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 4 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 4 - (n + 1) ^ 4 #

#sum_ {i = 0} ^ ni ^ 4 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 4 + 4 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 6 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 4 sum_ {i = 0 } ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 4 #

# 0 = 4 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 6 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 4 sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 4 #

# 0 = 4S_3 (n) + 6S_2 (n) + 4S_1 (n) + (n + 1) - (n + 1) ^ 4 #

Rozwiązanie dla # S_3 (n) #

# S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 #

Tutaj #S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ n i ^ k #